Dumme Mathefrage zum verschachtelten Sinus und Cosinus?
Ich spiele manchmal gerne mit Desmos rum. Und aus Langeweile habe ich einfach mal:
sin(cos(sin(cos(sin(cos(sin(cos(sin(cos(sin(cos( ...(x) ...)
eingegeben.
Dabei ist mir aufgefallen, dass die entstehende Funktion aussieht, wie die Funktion einer Konstante. Dabei strebt der Funktionswert, mit der Genauigkeit die Desmos hergibt, gegen 0,6948.
Irgendwie ist das aber ziemlich unbefriedigend, denn diese Art diesen Funktionswert darzustellen ist unsinnig kompliziert und das Ganze konvergiert auch ziemlich langsam.
Daher wollte ich einfach einmal nachfragen, ob jemand eine Idee hat, wie man diesen Grenzwert einfacher berechnen/darstellen könnte.
2 Antworten
Die Funktion f(x) = sin(cos(x)) ist eine Kontraktion (Faktor 1/2) und hat darum einen Fixpunkt, den du offenbar durch Iteration gefunden hast, gratuliere!
Die Auflösung der Gleichung für den Fixpunkt, x = sin(cos(x)), dürfte nicht so leicht fallen.
Was du gemacht hast nennt sich Iteration.
Und was du gefunden hast ist ein sogenannter Fixpunkt.
x = 0,6948196907307875...
Auf Google und Youtube kannst du zum Thema Fixpunktiteration ein bisschen was finden.
Ich hatte damals als Schüler die Buchreihe "Schülerduden: Mathematik" Band I und II
Da wurde in Band 2 so ganz am Rande erwähnt was eine Iteration ist, was man damit machen kann, und wie man sie durchführt.
Im Schulunterricht als Thema gehabt hatte ich das auch nicht, und ich war damals im Mathematik Leistungskurs auf dem Gymnasium. Also, in der Schule wird das Thema nicht behandelt.
Na ja, ich habe auch erst letzte Woche das Newton Näherungsverfahren kennen gelernt, was ich auch gerne in der Schule gehabt hätte. Warum lernt man als Schüler solche mächtigen Werkzeuge nicht? Ich hatte im Mathegrundkurs nicht einmal partielle Integration, implizite Differenzierung, oder Weierstrasssubstitution oder oder oder ... den ganzen Kram lerne ich erst jetzt kennen, da ich mich selbst ein bisschen mit Mathematik beschäftige.
Weil man das alles an Universitäten ausgelagert hat, da musst du studieren.
Oh, glaub mir, um Mathematik zu studieren bin ich ein wenig zu doof, das lerne ich lieber in meinem eigenen Tempo zwar 10 mal zu langsam, aber dafür für mich verständlich. ^^
ich finde aber, dass Schülern, gerade im Abitur, die Möglichkeit geboten werden sollte, sich selbst damit zu beschäftigen, und wenn es nur sei, dass der Lehrer zum Ende des Themas einmal erwähnt, dass ein Werkzeug existiert, ohne es im Unterricht zu behandeln.
Okay, ich lese mir dann erst einmal den Wikipediaeintrag und was ich sonst noch finden kann, dazu durch .... und wieder einmal bin ich sowohl genervt als auch ein wenig angewidert darüber, dass ich das nicht in der Schule gelernt habe, bzw, noch nie davon gehört habe. :c