Wer kann mir helfen?
Hey, leider sind mir bei obigem Beweis zwei Umformungen unklar. Ich vermute, es liegt daran, dass das Lehrbuch mit dem ich arbeite, viele Schritte ausspart und komprimiert darstellt.
1. Bei der Abschätzung von Zeile 1 zu 2 verstehe ich nicht, weshalb das erste Reihenglied mit den anderen Reihengliedern multipliziert wird. Müsste es nicht addiert werden?
2. In der 3. Zeile geht mir die Umformung zu b^-m für mein Verständnis etwas zu flott.
Vielleicht kann jemand mir eine etwas ausführlichere Erklärung geben. Dankeschön
2 Antworten
Zu deiner ersten Frage. Hier wird nicht das erste Summenglied mit den anderen multipliziert, sondern: zunächst wird (b-1) vor dieSumme gezogen, da es in jedem Summanden vorkommt. Dadurch steht da nur noch eine Summe über Potenzen von b. Die kleinste Potenz wird vor die Klammer gezogen, so dass sich die Potenzen in der Klammer (unter dem Summenzeichen) um diesen Grad verringert.
Beachte: die Potenzen sind negativ, d.h. b^x befindet sich im Nenner - ich schreibe dies nur, um verzubeugen, dass nicht jemand kommt und mir erklärt, dass "hohe Potenzen" mit Minuszeichen ja eigentlich "niedrige Potenzen" sind.
Hilft dir das ?
Zur zweiten Frage:
Mache dich mal von den negativen Exponenten frei, indem du Brüche schreibst. Dann wird es klarer:
Da steht (b-1)*b^-(m+1)/(1-1/b) = (b-1)/(b^(m+1) - b^(m+1)/b) = (b-1)/b^m * (b-1) = ...
Bitte schreibe immer die Exponeten in Klammern, wenn es Summen sind, sonst wird da schnell Unsinn draus.
Nein, es wird ein Faktor, der in allen Summengliedern drin steckt, vor die imaginäre Klammer gezogen wird.
Ein einfaches Beispiel, das es dir klar machen soll: a^10 + a^15 = a^10*(1+a^5)
Beachte, dass in der Summe sich die Grenzen genau um dieses (m+1) verringert haben.
Habe es mir nochmal in Ruhe angesehen mithilfe deiner Erklärung. Ich glaube die zweite Zeile macht jetzt Sinn für mich:
b^-m-1 kann also vorgezogen werden, da sich die nachfolgenden Potenzen in der Gestalt b^-m-k ausdrücken lassen wobei k > 1 ist. Damit lässt sich b^-m-k auch als b^-m-1 mal b^-k+1 schreiben, weswegen b^-m-1 in allen weiteren Summanden enthalten ist und damit ausgeklammert werden darf. Konkreter: b ^ - m - 2 = b ^ - m - 1 mal b ^ - 1
b ^ - m - 3 = b^ - m - 1 mal b ^ -2 usw.
Bin ich noch auf dem Holzweg oder ist das richtig geschlussfolgert?
Falls ja, hat mir deine Antwort für diese Zeile sehr weiter geholfen. Für Zeile 3 sehe ich mir die Antwort von Suboptimierer mal an. Danke Ihnen
Ja, das ist richtig so. Ich habe dir auch die zweite Frage beantwortet.
BITTE: Schreibe die Exponeten in Klammern, wenn es Summen sind. So wie du es schreibst ist es tatsächlich was ganz anderes und du verwirrst dich und alle anderen damit.
Das passiert aufgrund der Umindizierung.
Die Konstanten werden herausgezogen, da sie mit jedem Summenglied multipliziert werden.
Edit: b^(-m-1)
Zeile 3:
Wir wissen, dass es auf = b^-m hinaus laufen soll, also können wir entsprechend umstellen:
Das mit dem Bruch multiplizieren:
Dankeschön für die anschauliche Antwort. Mit ein paar Schritten mehr wird es für mich schon viel klarer. Darf ich fragen, wie Sie die mathematischen Symbole geschrieben haben und ob die Anwendung auch für Smartphones verfügbar ist?
Auf dem PC gibt es einen "fx"-Button. Keine Ahnung, ob es den auch auf dem Handy gibt.
Auf jeden Fall kann man die Funktion nur in Antworten (und Fragen?) nutzen, nicht aber in Kommentaren zu Antworten.
Aber nun wird ja auch noch das Reihenglied für v = m + 1 vorgezogen. Und da es als Produkt mit (b-1) steht, wird es gleichzeitig mit (b-1) mit ∑... multipliziert. Jedenfalls gehe ich davon aus, da kein Additionssymbol dazwischen liegt. Müsste es korrekterweise nicht
(b-1) b^-m-1 + (b-1) ∑...lauten. So hätte man vorne das erste Reihenglied und mit plus abgetrennt die restlichen