Welches hat die höhere Wahrscheinlichkeit eine große Straße beim Kniffel zu erhalten?

4 Antworten

Ich drösel es einmal ganz kleinlich auf:

Variante A: Wir gewinnen genau dann, wenn einer der beiden Würfe eine 4 ergibt. Der erste Wurf ergibt mit Ws 1/6 eine 4. Der zweite Wurf natürlich auch, aber wir benötigen den zweiten Wurf überhaupt nur dann, wenn der erste Wurf schiefgeht (was mit Ws 5/6 passiert).

Daher ergibt sich die Ws 1/6 + 5/36 = 11/36 für den Sieg.

Variante B folgt in einem Kommentar, weil ich eben einen richtig dämlichen Denkfehler gemacht habe.

Variante B: Ich schaue mir die folgenden Fälle an:

  1. Wir gewinnen schon im nächsten Zug
  2. Wir kriegen im nächsten zug eine 1, aber keine 4.
  3. Wir kriegen im nächsten Zug eine 6, aber weder eine 1 noch eine 4.
  4. Wir kriegen im nächsten Zug eine 4, aber keine 1 oder 6.
  5. Wir kommen der großen Straße keinen Schritt näher.

Als erstes berechne ich für diese 5 Fälle die Wahrscheinlichkeiten:

  1. Wir werfen also eine 4 und eine 1 oder 6. Nummerieren wir die beiden Würfel durch, so erhalten wir also eines der Paare (1,4),(4,1),(1,6) oder (6,1). Dies geschieht mit Ws 4/36 = 1/9.
  2. Wie oben ermitteln wir die Ws 1/4.
  3. Wie oben ermitteln wir die Ws 7/36.
  4. Wie oben ermitteln wir die Ws 7/36.
  5. In diesem Fall würfeln wir nur 2en, 3en und 5en. Dies passiert mit Ws 3² / 36 = 1/4.

Als kleine Probe addieren wir alle Wkeiten zusammen und erhalten:

1/9 + 1/4 + 7/36 + 7/36 + 1/4 = 1.

Ok, jetzt schauen wir uns an, was in den einzelnen Fälle noch passieren muss, damit wir gewinnen:

  1. Nichts, wir haben schon gewonnen (Ws 1)
  2. Wir müssen mit dem verbleibenden Würfel eine 4 werfen. (Ws 1/6)
  3. Wir müssen mit dem verbleibenden Würfel eine 4 werfen (Ws 1/6)
  4. Wir müssen mit dem verbleibenden Würfel eine 1 oder 6 werfen (Ws 1/3)
  5. Wir müssen noch eine 4 und eine 1 oder 6 werfen. Das passiert gerade mit der Ws des ersten Falls (Ws 1/9).

Gut, dann benutzen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und erhalten für Variante B:

1/9 + 1/4 * 1/6 + 7/36 * 1/6 + 7/36 * 1/3 + 1/4 * 1/9 = 5/18.

Insbesondere hat Variante B eine kleinere Wahrscheinlichkeit.

2

Erfolg bei A:
1 - (5/6)² = 11/36

B ist etwas schwieriger.
Man hat zwei Würfel und diese werden zwei mal geworfen. Es gibt also insgesamt vier Würfe und somit 6⁴ = 1296 verschiedene Möglichkeiten.
Wir müssen nur zählen, wie viele einen Erfolg darstellen.

Das müssten 12 * 36 * 2 = 864 Möglichkeiten sein.

Das sind genau 2/3 von 6⁴.

Deshalb denke ich, dass Variante B mehr als doppelte Erfolgschancen hat.

ok, da hatte ich einen Denkfehler.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 4 bei 4 Würfen ist 1 - (5/6)⁴. Wenn es nicht eine 4 gibt hat man auf jeden Fall keinen Erfolg.

Wenn mindestens eine Zahl eine 4 ist, sind noch drei Würfe übrig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer davon eine 6 oder 1 ist beträgt
1 - (2/3)³.

Die kombinierte Wahrscheinlichkeit ist also das Produkt dieser beiden: (1 - (5/6)⁴) * (1 - (2/3)³) = 12749 / 34992 .

Das ist etwas größer als 11/36.

Gerundete Prozentsätze:

Variante A: 30.55556%

Variante B: 36.43404%

Hoffe, ich habe jetzt nicht schon wieder einen Denkfehler.

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@YStoll

Uuuuund wieder falsch.

Meine Überlegung, es auf 4 Würfel zu übertragen klappt nicht, da man ja beim zweiten Wurf evtl. nur noch einen hat.

Das habe ich komplett vergessen.

Guckt bei Melvissimo, das sieht richtig aus.

2
@YStoll

Mach dir nichts draus ;) mein "richtig dämlicher Denkfehler", den ich oben genannt habe, war von ähnlicher Natur.

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Wahrscheinlihckeit mit der 5 eine 4 zu würfeln innerhalb von zwei unabhägigen Würfen ist 2*(1/6) = 1/3

Wahrscheinlichkeit für Variante 2:

4* (1/6)*(2/6) = 4*(1/18) = 2/9
Anzahl der Würfe*Wahrscheinlichkeit für 4*Wahrscheinlichkeit 1oder 6

Variante 1 hat die höhere Wahrscheinlichkeit.


Wahrscheinlihckeit mit der 5 eine 4 zu würfeln innerhalb von zwei unabhägigen Würfen ist 2*(1/6) = 1/3

Die gleiche Idee hatte ich auch. Dann dachte ich aber: Oh, dann müsste ich ja mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 bei 6 Würfen eine 4 erwischen. Das ist aber leider (logischerweise) nicht so. Die Wahrscheinlichkeit innerhalb von 2 Würfen eine 4 zu erhalten ist 1/6+5/6*1/6=11/36 und nicht 1/3.

https://youtu.be/6jt\_Eu4z8Ck (Bei ca. 5:00 fängt das konkrete Beispiel an. Um das Beispiel nachvollziehen zu können empfehle ich aber das ganze Video anzuschauen. Es lohnt sich!)

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@Comment0815

stimmt.. macht Sinn... xD aber egal wie mans dreht, die zweite Variante ist weniger wahrschienlich.. sollte zumindest

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Wahrscheinlihckeit mit der 5 eine 4 zu würfeln innerhalb von zwei unabhägigen Würfen ist 2*(1/6) = 1/3

Nein.
Was machst du, wenn du 10mal würfelst? Hast du dann eine Wahrscheinlichkeit >1?

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