Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfen eine 6 zu würfeln?
Wir sind beim Kniffelspielen auf genau diese Frage gestoßen und konnten im Netz nichts dazu finden, denn die Berechnungen wurden immer unter Berücksichtigung der Reihenfolge vorgenommen, sprich 2x hintereinander eine 6 o.ä. .
Ich bin auf das Ergebnis 1/3 gekommen, da man 2x die Chance von 1/6 hat eine 6 zu würfeln, also 1/6+1/6 = 2/6 = 1/3 .
Doch dann stoßen wir auf eine genau dieselbe Frage auf gutefrage, in deren Antwort jedoch mit dem Gegenereignis gerechnet wurde. Die Lösung war übrigens 11/36. Aber wieso? Und welche Rechnung ist richtig?
Beispiel Kniffel:
Man hat vier 6er beim ersten Wurf und will aus 2 verbleibenden Würfen noch genau eine 6. Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist 5/6 beim ersten Wurf und 5/6 beim zweiten Wurf. Wenn man aber beim ersten der verbleibenden Würfe eine 6 würfe, bräuchte man keinen zweiten der verbleibenden Würfe. Wie rechnet man das?
Danke für Antworten!
8 Antworten
Ich gehe davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "mindestens eine 6 würfeln" gemeint ist.
Deine vorgeschlagene Lösung:
Ich bin auf das Ergebnis 1/3 gekommen, da man 2x die Chance von 1/6 hat eine 6 zu würfeln, also 1/6+1/6 = 2/6 = 1/3 .
Es gibt verschiedene Arten, zu erklären, was an dieser Lösung problematisch ist.
Ich wähle mal eine Variante:
Du betrachtest die Ereignisse losgelöst von dem anderen Ereignis. Du musst aber bedenken, dass das Ereignis "beim ersten Mal eine 6 würfeln" einschließt, dass man beim zweiten Mal vielleicht keine 6 würfelt.
Du musst sozusagen beide Durchgänge auf einmal ins Auge fassen und diese Durchgänge nicht separat voneinader betrachten.
Sprich: "mind. eine 6 würfeln" kann auf drei Arten eintreten:
1. Art: Beim ersten Mal eine 6 würfeln, beim zweiten Mal keine 6.
2. Art: Beim ersten Mal keine 6 würfeln, beim zweiten Mal schon.
3. Art: Beide Male eine 6.
Eine von den drei Arten muss es sein. Man kann also die Wahrscheinlichkeit für jede Variante separat ausrechnen, und dann die Wahrscheinlichkeiten addieren.
Die Wahrscheinlichkeit der 1. Art berechnet sich so: 1/6 * 5/6
Die Wahrscheinlichkeit der 2. Art berechnet sich so: 5/6 * 1/6
Die Wahrscheinlichkeit der 3. Art berechnet sich so: 1/6*1/6
Addiert ist das: P (mind. ein Mal eine 6 würfeln) = 1/6*5/6 + 5/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 11/36 = 30.56 % (gerundet).
Einfacher: Du ziehst die Wahrscheinlichkeit dafür, bei beiden Würfen keine Sechs dabei zu haben, von 1 ab, denn alle anderen Kombinationen haben dann mindestens eine Sechs: 1-(5/6)²=11/36.
Die Zahlen in den Mengen stehen für die Augenzahlen
Naja. Schau mal. Du hast eine Wahrscheinlichkeit von 5/6 pro Wurf, keine 6 zu würfeln. Also 5/6 * 5/6 = 25/36 -> 1 (für 100%) - 25/36= 11/36.
Auf das gleiche kommst du auch andersherum. Wenn du die Chance hast, beim ersten Wurf eine 6 zu Würfeln, hast du 1/6*5/6. Das ist der Weg, wenn du keine zweite 6 würfelst. Für 2 Sechsen hast du 1/6*1/6 und für eine 6 im zweiten wurf hast du 5/6*1/6
Alle drei Wege rechnest du zusammen. Also:
5/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 + 5/6 * 1/6.
5/36+1/36+5/36=11/36
Kleiner Exkurs, du kannst es auch umständlich ohne Gegenereignis machen.
Die W., beim ersten Wurf 6 zu würfeln und beim zweiten
nicht, ist 1/6*5/6 = 5/36. Umgekeht genauso. Die W.,
beiden Male 6 zu würfeln ist 1/6* 1/6 = 1/36.
Macht 5/36 + 5/36 + 1/36 = 11/36.
Male mal eine 6x6 Tabelle mit den Spaltenüberschriften 1 ... 6 und den Zeilenüberschriften 1 ... 6.
Nun kreuze von den 36 Feldern alle an, wo entweder in der Spalte oder in der Zeile als Überschrift eine 6 steht. Es sind 11 von 36 Feldern.
Also ist die Wahrscheinlichkeit 11 / 36