Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein?
Hilfe, ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen?
a=3, b=4, (2a ⃗-b ⃗) senkrecht zu (a ⃗+b ⃗)
3-dimensional
6 Antworten
Einfach nur "Kosinusformel" für den 3 dimensionalen Raum anwenden
siehe Mathe-Formelbuch oder in deine Unterlagen.
Formel cos(c)= a * b/(a) * (b)
a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)
a *b= ax*bx +ay*by+az *bz
(a)= Wurzel (ax^2+ay^2 +az^2)
(b)= Wurzel( bx^2+by^2+bz^2)
Die Indizes sind die Komponenten der Vektoren x,y und z Richtung
Winkel (c)= ar cos ( a *b/((a) *(b) *)
Hallo,
ich nehme an, a*b soll |a|*|b| bedeuten.
Da cos(Phi)=(a·b)/(|a|*|b|), steht der Nenner schon mal fest: 3*4=12
Es gilt nur noch, a·b herauszufinden.
Dazu hilft Dir die Angabe, daß (2a-b) und (a+b) senkrecht aufeinanderstehen, daß also gilt: (2a-b)·(a+b)=0
Wenn Du das ausmultiplizierst, bekommst Du 2a²-b²+a·b=0
Was ist a²? Das ist a·a
Wenn a der Vektor (x/y/z) ist, bedeutete dies x²+y²+z²
Das ist aber nichts anderes als das, was bei der Berechnung des Betrages unter der Wurzel steht. a² muß also gleich 3²=9 sein.
2a² ist dann 18 und b²=4²=16
18-16=2
Also: 2+a·b=0
a·b=-2
Dann ist (a·b)/(|a|*|b|)=-2/12=-1/6
Das ist der Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren.
Der Winkel ist dann der Arcuskosinus: arccos(-1/6)=99,6°
Herzliche Grüße,
Willy
Und ich hatte es zur Sicherheit anhand einer Konstruktion überprüft.
Wenn du die Vektoren exakt vorgeben kannst, dann kannst du über das Skalarprodukt und die Beträge an den Winkel herankommen:
cos φ = (<a> • <b>) / ab <a> ist mein Vektor, a ist mein Betrag
Du hast anscheinend die Beträge, du brauchst aber auch die Vektoren selber, um das Skalarprodukt zu bilden - egal in welchem Raum.
Danke für deine Antwort, aber ich habe zu <a> und <b> keine Angaben, außer die genannten der Aufgabe.
Dann fehlt für mich im Kontext noch irgendeine Angabe, die die Vektoren besser beschreibt.
Wenn Du mit a und b die Beträge meinst, dann folgt für den Kosinus das gesuchten Winkels cos(Winkel) = 3/4. Ab da kannst Du es allein.
2-dimensionaler Raum oder 3?
Betrachte das Koordinatensystem, bei dem der a-Vektor die x-Achse ist, der b-Vektor in der x-y-Ebene liegt. Die z-Ebene braucht man dann nicht, das reduziert die Rechnerei schonmal.
a=(4,0)
b=(p,q) mit Länge 4, also p^2+q^2=4^2 => q=wurzel(16-p^2) => b = (p, wurzel(16-p^2))
es gilt:
(2a-b) * (a+b) = 0
Setze die obigen Vektoren ein in die untere Gleichung, damit müsste p eindeutig bestimmt sein (vermutlich quadratische Gleichung)
Danke für deine Antwort. Aber warum kann man für die Koordinate p einfach p einsetzen und muss nicht wurzel(16-q²) dafür einsetzen?
Du kannst stattdessen auch die Variable p rauskürzen, dann kommt (wurzel(16-q^2), q) für b heraus.
hauptsache du kürzt eine Variable raus und es bleibt nur noch die andere übrig.
übrigens hatte ich einen fehler: a muss (3,0) sein, denn a hat ja Länge 3 und nicht 4.
Danke!! Das Ergebnis ist richtig(hab das Ergebnis ohne Rechenweg vorliegen).