Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein?

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5 Antworten

Hallo,

ich nehme an, a*b soll |a|*|b| bedeuten.

Da cos(Phi)=(a·b)/(|a|*|b|), steht der Nenner schon mal fest: 3*4=12

Es gilt nur noch, a·b herauszufinden.

Dazu hilft Dir die Angabe, daß (2a-b) und (a+b) senkrecht aufeinanderstehen, daß also gilt: (2a-b)·(a+b)=0

Wenn Du das ausmultiplizierst, bekommst Du 2a²-b²+a·b=0

Was ist a²? Das ist a·a

Wenn a der Vektor (x/y/z) ist, bedeutete dies x²+y²+z²

Das ist aber nichts anderes als das, was bei der Berechnung des Betrages unter der Wurzel steht. a² muß also gleich 3²=9 sein.

2a² ist dann 18 und b²=4²=16

18-16=2

Also: 2+a·b=0

a·b=-2

Dann ist (a·b)/(|a|*|b|)=-2/12=-1/6

Das ist der Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren.

Der Winkel ist dann der Arcuskosinus: arccos(-1/6)=99,6°

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von TheRipper11elf1
25.11.2016, 15:47

Danke!! Das Ergebnis ist richtig(hab das Ergebnis ohne Rechenweg vorliegen).

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Wenn du die Vektoren exakt vorgeben kannst, dann kannst du über das Skalarprodukt und die Beträge an den Winkel herankommen:

cos φ = (<a> • <b>) / ab                 <a> ist mein Vektor, a ist mein Betrag

Du hast anscheinend die Beträge, du brauchst aber auch die Vektoren selber, um das Skalarprodukt zu bilden - egal in welchem Raum.

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Kommentar von TheRipper11elf1
25.11.2016, 15:17

Danke für deine Antwort, aber ich habe zu <a> und <b> keine Angaben, außer die genannten der Aufgabe.

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Einfach nur "Kosinusformel" für den 3 dimensionalen Raum anwenden 

siehe Mathe-Formelbuch oder in deine Unterlagen.

Formel cos(c)= a * b/(a) * (b)

a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)

a *b= ax*bx +ay*by+az *bz

(a)= Wurzel (ax^2+ay^2 +az^2)

(b)= Wurzel( bx^2+by^2+bz^2)

Die Indizes sind die Komponenten der Vektoren x,y und z Richtung

Winkel (c)= ar cos ( a *b/((a) *(b) *)

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Es sind 19,4°

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Kommentar von Wechselfreund
25.11.2016, 17:02

... Vorzeichenfehler...

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2-dimensionaler Raum oder 3?

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Kommentar von Maimaier
25.11.2016, 15:14

Betrachte das Koordinatensystem, bei dem der a-Vektor die x-Achse ist, der b-Vektor in der x-y-Ebene liegt. Die z-Ebene braucht man dann nicht, das reduziert die Rechnerei schonmal.

a=(4,0)

b=(p,q) mit Länge 4, also p^2+q^2=4^2 => q=wurzel(16-p^2) => b = (p, wurzel(16-p^2))

es gilt:

(2a-b) * (a+b) = 0

Setze die obigen Vektoren ein in die untere Gleichung, damit müsste p eindeutig bestimmt sein (vermutlich quadratische Gleichung)

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