Was sind die Eigenschaften einer quadratischen Funktion? HILFEE!

6 Antworten

Hallo, Rihanna,

wie andere bereits geschrieben haben, hat eine quadratische Funktion die Form ax²+bx+c, wobei a, b und c beliebige Zahlen oder Werte wie Pi, e oder anderes sein kann - kurz, alles was auf dem Zahlenstrahl zwischen minus unendlich und plus unendlich herumlungert, allerdings darf a nicht gleich Null werden.

Die wichtigste Eigenschaft einer quadratischen Funktion ist ihre charakteristische Form. Diese Form ähnelt entweder einer Girlande oder der Kurve, die ein Ball beschreibt, wenn Du versuchst, ihn aus einigen Metern Entfernung in einen Korb zu werfen. Das heißt, der Graph dieser Funktion, den man auch eine Parabel nennt, beginnt entweder links oben in einem Koordinatensystem, geht zunächst steil nach unten, wird immer flacher, bis er seinen Tiefpunkt, den Scheitelpunkt erreicht und steigt dann wieder, allmählich steiler werdend, nach rechts oben an. Du kannst Dir auch zwei Sprungschanzen vorstellen, die sich gegenüberstehen und am unteren Ende berühren, so daß ein Skispringer auf der anderen Seite durch seinen Schwung wieder hinausfahren könnte (nicht ganz, aber ein gutes Stück). Der Funktionsgraph kann aber auch unten links beginnen (in Wirklichkeit beginnt er natürlich nicht, weil er aus der Unendlichkeit kommt und in der Unendlichkeit wieder verschwindet - aber Dein Blatt Papier ist nicht unendlich groß und irgendwo mußt Du ja mit dem Zeichnen anfangen.

In diesem Fall sieht Deine Parabel wie ein gleichmäßig ansteigender und auf der anderen Seite abfallender Hügel aus, dessen höchster Punkt seine Kuppe ist. Wichtig ist dabei, daß die quadratische Funktion nur einen Hochpunkt oder Tiefpunkt besitzt - den aber immer, es sei denn, a ist gleich 0, dann ist Dein Graph eine Gerade, weil das x² wegfällt. Diesen Hoch- oder Tiefpunkt nennt man Maximum, bzw. Minimum oder auch Scheitelpunkt.

Für den Scheitelpunkt gibt es eine Formel. Bei der Funktion ax²+bx+c besitzt der Scheitelpunkt die Koordinaten (-b/2a|-b²/4a+c. Konkret bedeutet das:

Die Funktion f(x)=2x²+3x-1 besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten     (-3/4|-17/8). Dies kannst Du nachrechnen, wenn Du für a eine 2 einsetzt, für b die 3 und für c die -1.

Eine weitere Eigenschaft einer quadratischen Funktion ist ihre Stetigkeit, was bedeutet, daß Du ihren Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift absetzen zu müssen.

Dann ist sie spiegelsymmetrisch. Die Symmetrieachse ist eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt x=-b/2a. Darauf kommst Du, wenn Du die Ableitung der allgemeinen quadratischen Funktion f'(x)=2ax+b bildest, das Ganze gleich Null setzt und nach x auflöst. Unsere Beispielfunktion würde sich also an der Geraden x=-3/4 spiegeln, also exakt da, wo auch der x-Wert des Scheitelpunktes liegt, was auch irgendwie logisch ist, da es nur einen Scheitelpunkt gibt. Wäre die Spiegelachse an anderer Stelle, hätte die Parabel zwei Scheitelpunkte und wäre keine mehr.

Wendestellen besitzt eine quadratische Funktion nicht. Eine Wendestelle ist eine Stelle, an der der Funktionsgraph, betrachtet man ihn von oben, erst eine Links- dann eine Rechtskurve beschreibt (oder umgekehrt). Das ist auch klar, für eine wendestelle müßte die zweite Ableitung gleich Null werden, was aber, außer, wenn a=0 wäre, was wir aber ausschließen müssen, weil wir dann keine quadratische Funktion (hätte ich das Ding doch mit QF abgekürzt) mehr haben, sondern - wie vor gefühlten 200 Seiten erwähnt - nur noch eine Gerade. Die zweite Ableitung lautet f''(x)=2a, und das Ding wird nie und nimmer Null, wenn a dies nicht wird (und das haben wir ihm verboten).

So, liebe Rihanna, das sollte reichen, um Dir die nächste Mathestunde zu retten. Ich wünsche Dir alles Gute.

Willy

Hey :)

Puh, das sind echt viele...ich erzähl dir mal in Kurzfassung so alles, was ich dazu weiß.

Allgemeines

Eine quadratische Funktion beschreibt eine Parabel im Koordinatensystem. Sie hat die Form f(x)=ax²+bx+c und ist achsensymmetrisch. Anwendung finden quadratische Funktionen bei Brücken, der Berechnung von Grundstücken und bei Flugbahnen frei fallender Objekte.

Die Normalparabel

Die Normalparabel hat die Form y=x². Sie hat ihren Scheitelpunkt am Ursprung (0|0), und die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Die Parabel hat den Streckfaktor 1, d.h. ausgehend vom Scheitelpunkt gilt:

  • Gehst du im Koordinatensystem eine Einheit nach rechts (oder aber nach links), so liegt der zugehörige Parabelpunkt 1² = 1 höher als der Scheitelpunkt;
  • gehst du 2 nach rechts (oder aber nach links), so liegt der zugehörige Parabelpunkt 2² = 4 höher als der Scheitelpunkt u.s.w.

Allgemeine Form derquadratischen Funktion

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet f(x)= ax²+bx+c, wobei a der Streckfaktor und c der Ordinatenabschnitt der Parabel ist. In dieser Form wirdeine Parabel meistens angegeben. Von dieser Form aus kann man nun den Scheitelpunkt einer Parabel berechnen, nach Division durch a auch die Nullstellen.

Nullstellenberechnung mittels pq-Formel

Beispielfunktion: y=2x²+2x-12

Die pq-Formel ist auf quadratische Gleichungen in Normalform anwendbar, d.h. sie müssen die Form x²+px+q= 0 aufweisen. Dazu setzt man die Funktion gleich 0 und dividiert durch den Streckfaktor; dieser ist immer von Null verschieden.

2x²+2x-12= 0 |:2≠0

x²+x-6= 0

Nun haben wir einequadratische Gleichung in Normalform. Jetzt wenden wir die pq-Formel an:

x1,2= -p/2 ±√(p²/4 -q)

=-0,5 ±√(0,25 +6)

= -0,5 ±√(6,25)

= -0,5 ± 2,5

L={-3; 2}

Die Funktion hat

  • genau eine Lösung, falls die Diskriminante D = p²/4-q gleich 0 ist;
  • zwei Lösungen, falls die Diskriminante größer als 0 ist;
  • keine Lösung, falls die Diskriminante negativ ist (weil dann der Ausdruck √( D ) in der pq-Formel keine reelle Zahl ist.).

Der Zusammenhang zwischen quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen besteht darin,dass die Lösungen einer quadratischen Gleichung die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion sind.

Scheitelpunktberechnung/Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist f(x)= a(x-xs)²+ys, der Scheitelpunkt hat die Koordinaten s(xs|ys). Die Scheitelpunktform erhält man durch quadratische Ergänzung:

y= 2x²+2x-12 |:2

y= x² +x-6 |+6

y +6 = x² +x = 1 * x² +1 * x

Die rechten Seite soll zu einem Quadrat ergänzt werden, wie es in einer binomischen Formel steht. Dazu wird der Faktor vor x halbiert, dann das Quadrat dieser Hälfte auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Der Faktor vor x ist hier 1, die Hälfte ist 0,5,deren Quadrat ist 0,25.

y +6,25 = x² +x + 0,25

Dank dieser Vorbereitung entspricht die rechte Seite einer binomischen Formel:

y +6,25= (x+0,5)² |-6,25

y= (x+0,5)² -6,25

=> S(-0,5|-6,25)

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion

Die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion ist f(x)= a(x-x1)(x-x2). Du kannst eine quadratische Funktion in diese Form bringen, indem du die Nullstellen x1 und x2 berechnest und einsetzt.

Beispiel: Eine quadratische Funktion hat die Nullstellen x1 = -3 und x2 = 2 und den Streckfaktor a = 1. Wie lautet ihre Gleichung?

=> f(x)= 1 *(x+3)(x-2)

Satz des Vieta

Der Satz des Vieta(Vi-eeta gesprochen) dient dazu,

  • aus den zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung
  • (welche auch Nullstellen aller zugehörigen quadratischen Funktion sind)
  • die quadratische quadratische Funktion mit a=1 zu berechnen.

Oder auch anders herum:

  • Wenn eine quadratische Funktion in der allgemeiner Form gegebenen ist
  • und a = 1 ist und
  • die Funktion ganzzahlige Nullstellen hat,

dann lassen die Nullstellen sich mit dem Satz von Vieta erraten, weil sie Teiler des Absolutgliedes q sein müssen.

Ein Beweis führt an dieser Stelle zu weit, bei Bedarf stelle ich ihn aber gern in den Kommentar.

Woran erkennt man was?

  • Am Betrag von a erkennt man, ob die Parabel gestaucht (a<1), gestreckt(a>1) oder normal (a=1) ist (hier im Beispiel 2, also gestreckt).
  • Am Vorzeichen von a erkennt man, ob die Parabel nach oben geöffnet (Vorzeichen positiv) oder nach unten geöffnet (Vorzeichen negativ) ist (hier im Beispiel positiv, also nach oben geöffnet).
  • An der allgemeinen Form erkennt man den Schnittpunkt c mit der y-Achse(Ordinatenabschnitt, hier im Beispiel -12).
  • An der Scheitelpunktform erkennt man den Scheitelpunkt der Parabel, und man sieht, welche auf der x-Achse senkrecht stehende Gerade die Symmetrieachse der Parabel ist, denn diese Symmetrieachse geht durch den Scheitel (hier im Beispiel x= -0,5)
  • An der faktorisierten Form erkennt man die Nullstellen der Funktion (hier im Beispiel -3 und 2).

So, bei Fragen melde dich! :)

LG ShD

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