Was ist die 26te Ableitung von (x-a)(x-b)(x-c)*...*(x-z)?
3 Antworten
Das ist ein Polynom 26. Grades, somit ist die 26. Ableitung 26! Mal der Koeffizient, der vor x^26 steht, wenn man dein Term ausmultipliziert. Da man, um x^26 zu erreichen hier bei jedem Faktor immer den Summanden x wählen muss, ist der Koeffizient 1.
Die Ableitung ist also 26!.
das ist aber ganz schön viel !
was sagt und das ? .....................dass da ganz viele auf und abs und wendepunkte sind ?
Well, well.
Verallgemeinerte Leibniz RegelEs gibt für sowas eine Ableitungsregel: Die Verallgemeinerte Leibniz Regel:
Das ist einfach nur die Produktregel (auch Leibniz Regel genannt) in verallgemeinert für Ableitungen n ter Ordnung.
Jetzt ist es nur noch einsetzen. ;)
Das ist aber langweilig und wer interessiert sich schon für sowas einfaches... hahaha
Spaß mit DefinitionenWir könnten auch den Riemann-Differentialoperator für Fraktionale Integrale anwenden:
Definieren wir a = 0, f(x) = (x-a_1)(x-b)(x-c)*...*(x-z) und substituieren v = -26 haben wir auch schon die 26 Ableitungen in ein Integral gequetscht.
(Bedenke: Die Gammafunktion hat für ganze nicht natürliche Argumente Singularitäten erster Ordnung, aka 1/Gamma hat dort Nullstellen.)
Im Sinne der fraktionalen Ableitungen kann das also sein.
Das macht in der Realität zwar keinen Sinne, aber es ist schön anzusehen. ;)
DenkenEs gibt 26 Buchstaben in Grundalphabet, aka muss deine Funktion ein Polynom vom Grad 26 sein. Die n te Ableitung von einen Polynom n ten Grades ist der Leitkoefizient * n!, welcher hier 1 ist.
Also ist die Antwort: 26!.
Die n te Ableitung von einen Polynom n ten Grades ist der Leitkoefizient, welcher hier 1 ist.
Bist du dir da sicher? Nehmen wir
f(x) = x^4 + 5x^3 + 6x^2 -4
Bei 4 mal ableiten fällte alles vom Grad kleiner als 4 weg. Wir müssen uns also nur um das x^4 kümmern.
Wenn wir das 4 mal ableiten kommt raus:
f'(x) = 4x^3
f''(x) = 4 * 3 * x^2
f'''(x) = 4 * 3 * 2 * x
f''''(x) = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Also ergibt die n-Ableitung von x^n = n!
4! = 24
Die 5te Ableitung von x^5 ist 5!, also 120.
Die 6te Ableitung von x^6 ist 6!, also 720
Die n te Ableitung von einen Polynom n ten Grades ist der Leitkoefizient, welcher hier n! ist.
Der Leitkoeffizoent ist 1. Die n.te Ableitung ist das n!-fache vom Koeffizienten.
Und bei deinem Letzten Satz müsste noch ein Punkt dahinter sein. Zumindest wenn du nicht willst, dass man das Fakultätszeichen als Satzzeichen verwechselst.
Der drittletzte Faktor des Polynoms lautet (x-x) und ist Null.
Well, well. Der Term wäre eine x - eine Variable einer Reihe. Das die Variable das Argument sein wird wir eigentlich angegeben.
Deswegen müssen reihen genau definiert sein...
Ich schätze mal, da kommt
= 403291461126605635584000000
raus.
Aber der Term (x-x) tritt auf und deswegen ist das abzuleitende Polynom die Nullfunktion!
Aber der Term (x-x) tritt auf
Und wo? Erst die 27. Ableitung wäre = 0. Die höchste auftretendre Potenz ist 26 und die tritt beim Ausklammern auch nur einmal auf und zwar ohne Vorfaktor.
Der drittletzte Faktor des Polynoms lautet (x-x) und ist Null.
Übler Mathetrick. *fg*
Man könnte allerdings dagegen halten, dass mit x an erster Stelle der Klammern eine beliebige Variable gemeint ist (wobei der Defintionsbereich allerdings nicht angegeben ist) und der zweite Buchstabe in der Klamer eine Konstante sein soll. Alles andere wäre unlogisch, insbesondere die Frage nach Ableitungen. Wenn du von vornherein x als eine Konstante definierst, wäre schon der Ausgangsausdruck = 0 und die Frage nach Ableitungen unsinnig.
Dann wäre logischerweise (x - x) nicht = 0, da sie zwar gleichbezeichnet sind, aber was anderes meinen.
0 ist die Lösung!