Was ist der Unterschied zwischen Scheitelpunkt und Extremas?
Folgende Gleichung:
y = 0.25x^4 - 2x^2 + 2
Extremas sind: (-2/-2), (0/2), (2/-2)
Welche/Welches davon ist der Scheitelpunkt und weshalb
7 Antworten
Bei einer quadratischen Gleichung ist der Scheitelpunkt der Parabel immer auch ein Extremum.
Ein Scheitelpunkt ist also gewissermaßen eine spezielle Art von Extremum: Auch z.B. kubische oder exponentielle Funktionen können ein oder mehrere Extrema haben, aber keinen Scheitelpunkt, den haben nur Parabeln.
Laut Wikipedia haben auch Ellipsen und Hyperbeln einen Scheitelpunkt (hier ist ein Scheitelpunkt der Schnittpunkt der Ellipse/Hyperbel mit einer ihrer Symmetrieachsen). Meistens meint man aber das Extremum einer Hyperbel.
PS: Habe gerade gelesen, dass manchmal auch lokale Extrema als Scheitelpunkt bezeichnet werden (also wo die erste Ableitung ein Nullstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist. In der Schule habe ich diese Definition aber nie gelernt oder benötigt.
Folgende Gleichung:
y = 0.25x^4 - 2x^2 + 2
Extremas sind: (-2/-2), (0/2), (2/-2)
Welche/Welches davon ist der Scheitelpunkt und weshalb
Extrempunkt: f'(x) = 0
Scheitelpunkt: f'(x) = 0, f''(x) ungleich 0
Sattelpunkt: f'(x) = 0, f''(x) = 0
Damit kannst Du das schnell selbst bestimmen.
Das eine ist Singular, das andere ein mißratener Plural.
Ich kenne einen Scheitelpunkt in der Mathematik nur bei quadratischen Funktionen. Bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades haben wir auch im Mathe-LK bis zum Abitur nie von Scheitelpunkten gesprochen. Ich weiß nicht, ob wir es einfach nie getan haben und man da aber noch unterscheiden kann, oder du einfach was verwechselst. Wir hatten es jedenfalls wie gesagt nie außer bei quadr. Funktionen.
Die Extrempunkte können entweder Hoch- oder Tiefpunkte sein.
Das Extremum einer quadratischen Parabel ist der Scheitelpunkt.
Extrema (das reicht als Plural) bei höhergradigen Funktionen nennt man nicht mehr so, sondern Maxima und Minima.
Wenn du eine quadratische Funktion ableitest, erhältst du eine lineare Funktion, die du nullsetzen kannst. Dann hast du als Extremstelle den x-Wert des Scheitelpunkts.
Bei deiner Funktion geht es natürlich nicht, sie ist 4. Grades. Bei ihrer Ableitung kannst du maximal 3 Extremstellen erhalten. Du bekommst auch genau drei.
Dabei ist (0|2) das Maximum, - die anderen beiden sind Minima.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(0.25x%5E4+-+2x%5E2+%2B+2)