Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Schreibweisen der partiellen Ableitung auf dem Bild?
Hall0,
wenn es einen Unterschied gibt, wäre ich dankbar für eine Erklärung. Weshalb ist die Schreibweise nicht eindeutig definiert? Herrscht Kommutativität? Wir befinden uns hier im Mehrdimensionalen Raum.
Vielen Dank im Voraus!
*Assoziativgesetz statt Kommutativgesetz
3 Antworten
In der Bedeutung gibt es keinen Unterschied.
Zunächst verhält es sich genauso wie im Eindimensionalen:
kann man als Operator auffassen, d.h. als Abbildung, die Funktionen auf Funktionen abbildet. In dem Fall eine Funktion auf ihre Ableitung, d.h. im Eindimensionalen kann man einfach
schreiben. Die anderen Schreibweise ist eine, die direkt die Ableitungsfunktion bezeichnet, d.h.
ist einfach eine andere Schreibweise für die Ableitung. Statt f‘ schreibt man df/dx. Diese Schreibweise ist im Eindimensionalen eher redundant (weil es ja die "f Strich"-Schreibweise gibt), wird aber im Mehrdimensionalen wichtig, weil ein "f Strich" einer mehrdimensionalen Funktion nicht mehr eindeutig ist, weil es mehrere erste Ableitungen gibt (nämlich eine für jede Variable).
Man verwendet aber dieselbe Schreibweise, nur mit dem geschwungenen d, um anzudeuten, dass es sich um eine partielle Ableitung handelt.
ist der Operator, der auf die k-te partielle Ableitung abbildet,
ist Notation für die k-te partielle Ableitung der Funktion f. Um alles zusammenzubringen (und die ultimative Verwirrung in der Notation zu stiften), könnte man also
schreiben und damit ist natürlich klar, dass
ist.
Kommutativität (und genauso Assoziativität) ist hier aber ein bisschen fehl am Platze, weil hier ja keine Elemente einer algebraischen Struktur verknüpft werden. d/dx und df/dx sind strukturell grundverschiedene Dinge - ersteres eine Abbildung im Funktionenraum und letztere die Ableitung, d.h. eine Abbildung von IR nach IR (und analog höherdimensional).
(Eine mE unmissverständlichere Notation für die k-te partielle Ableitung ist übrigens
denn dabei wird nicht die Bezeichnung des (willkürlich wählbaren) Funktionsarguments bereits in der Notation festgesetzt. Aber das ist Geschmackssache.)
Das freut mich. Ich mache das ja hier auch nicht uneigennützig, sondern vor allem um an meiner Didaktik zu feilen, deshalb hat so ein Kommentar doch unschätzbaren Wert ;-) und nachdem SpicyPlease jemand ist, der das alles zum ersten Mal sieht, sind diese Fragen natürlich ein Spielplatz für mich ;-)
Willibergi hat dir ja bereits eine ausführliche Antwort geschrieben. Ich möchte noch einen kleinen Kommentar ergänzen.
Die beiden von dir gezeigten Schreibweisen besitzen manchmal durchaus Relevanz, etwa wenn du die Hintereinanderausführung von Funktionen betrachtest.
Stell dir vor, dass f einen Punkt (x_1, ..., x_n) auf eine reelle Zahl abbildet und außerdem g eine Abbildung (etwa eine Koordinatentransformation) ist, die (\xi_1, ..., \xi_m) auf (x_1, ..., x_n) abbildet. Dann liegt es ja nahe, bspw. den folgenden Ausdruck auswerten zu wollen:
Beachte, dass sich dem Ausdruck
hingegen kein richtiger Sinn zuordnen lässt, denn hier wird die Bildung der partiellen Ableitung nach einem Argument versucht, das keine freie Variable des in den Klammern stehenden Ausdrucks ist.
Ich denke, die Intuition, wenn man eine der beiden Schreibweisen verwendet, ist auf subtile Weise zu berücksichtigen. Die erste Variante betrachtet die partielle Ableitung als einen linearen Operator auf einem geeigneten Raum von Funktionen. Die zweite Schreibweise ist hingegen vor allem in der Physik gebräuchlich, wo man wirklich den Prozess des symbolischen Ableiten hervorheben möchte. In der Physik begegnen einem häufig Ausdrücke wie
wo man interessiert daran ist, einen gewissen Ausdruck nach einem bestimmten Argument rein symbolisch abzuleiten.
Die Physiker treiben das sogar noch etwas weiter und verwenden das Symbol für die partielle Ableitung eher "zweckdienlich". Wenn du dich also mal mit Feldtheorien beschäftigen und dabei eine Ableitung der Gestalt
sehen solltest, dann falle bitte nicht augenblicklich in Ohnmacht, sondern erinnere dich daran, dass das nur eine Notation ist, um die Ableitung nach einem bestimmten Symbol auszudrücken.
In der Regel sind das äquivalente Schreibweisen für die partielle Ableitung von f nach x1. Aber je nach dem wie sie unterrichtet werden, können Schreibweisen unterschiedliche Bedeutungen haben. Um sicher zu sein, würde ich dir daher empfehlen in deinen Mitschriften oder deinem Skript nachzuschauen.
Ich hoffe das hilft.
Das war jetzt nicht hilfreich, denn eigentlich wollte doch ich eine gute Antwort schreiben. Aber so umfassend und präzise wie Du hätte ich es vermutlich nicht erklären können.