Huhu. Ohne Angaben zum genauen Hintergrund ist das etwas schwer zu beantworten. Ich würde spontan daran denken, über ein Thema allgemeiner Wichtigkeit zu reden. Das könnte das Beispiel der Umweltphysik sein, also die Physik der Atmosphäre, Ozeane und Böden.

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Nun ja, h gibt den Wasserstand an in Abhängigkeit der vergangenen Zeit. Die Interpretation der ersten Ableitung h' ist also die Änderungsrate des Wasserstandes. Ist h' positiv, steigt der Pegel, ist h' negativ, dann sinkt er. Was ist nun die Interpretation der zweiten Ableitung h''? Sie gibt an, wie sich die Änderungsrate ändert, nicht? Das ist so eine Art Beschleunigung, wenn du die Brille der Physik aufsetzt. Die Einheit ergibt sich als m/s^2, was sich auch lesen lässt als "meter pro Sekunde pro Sekunde".

Wenn nun h'' > 0 ist, muss die Änderungsrate des Wasserstandes zunehmen. Mehr und mehr wird das Zuführen des Wassers schneller. Du kannst dir das so vorstellen: nimm an, dass zu einem Zeitpunkt t die Änderungsrate h'(t) > 0 ist. Das bedeutet, dass Wasser zufließt, denn die Änderungsrate ist ja positiv. Und jetzt gelte ferner, dass h''(t) > 0 ist. In diesem Fall wäre nach einer winzig kleinen Zeitdifferenz dt

h'(t+dt) = h'(t) + h''(t) * dt > h'(t),

d.h. der Pegel steigt zum Zeitpunkt t+dt noch schneller als zuvor. Du könntest aber auch die Situation haben, dass vorher Wasser abfließt, d.h. h'(t) < 0. Eine positive zweite Ableitung hat dann rechnerisch noch immer den gleichen Effekt, aber es könnte zum Beispiel zum Vorzeichenwechsel kommen (von einem Abfließen hin zu einem Zufließen).

Ich hoffe, die Ausführungen helfen dir, um die markierte Teilaufgabe zu lösen.

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Ich würde die folgenden Ausführungen mit Vorsicht genießen, aber hier mein Take.

Wenn ich das richtig verorte, gab es Prokaryoten bereits im Archaikum. Mit Übergang ins Proterozoikum beginnt dann das erste Leben auf der Erde zu gedeihen und die Eukaryoten aus den Prokaryoten hervorzugehen. Dabei sind die Prokaryoten im Zuge dieser Symbiose umgewandelt worden in die Organellen der eukaryotischen Zelle. Symbiose funktioniert dann super, wenn beide Parteien etwas einbringen, was den symbiontischen Organismus komplettiert oder beiträgt, Stoffwechsel zu betreiben. Der Wirt kann zum Beispiel vom Endosymbionten abgegebene Stoffe nutzen. Man denke etwa an chemo- bzw. phototrophe Endosymbionten (was mit Blick auf die Beschaffenheit der frühen Erde des Archaikums eine Möglichkeit ist), die den Wirt bei der Photosynthese oder Zellatmung unterstützen.

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In meiner Schulzeit (Abitur 14, BW) spielte das alte Ägypten keine Rolle. Vielleicht dachten unsere Lehrer aber auch, Phoenix decke das Thema hinreichend gut ab.

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Ich denke, du solltest dir diese Beweise selbst überlegen. Ich gebe dir für die (a) aber gerne eine Anleitung.

In einem Widerspruchsbeweis beginnen wir damit, das Gegenteil der zu zeigenden Aussage als wahr anzunehmen. In unserem Fall wäre das

“angenommen a_i < RHS für alle i“

Naheliegend wäre es nun, die Summe über alle a_i zu betrachten und die Ungleichung anzuwenden. Ich denke, das solltest du mal ausformulieren.

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Die Betriebe suche händeringend nach Leuten, die Physiker werden wollen, finden aber keine. Die Ausbildung ist sehr entspannt. Auf Montage lernt man, wie man Photonen verschränkt und Strings bindet. Die Chancen, nach der Ausbildung übernommen zu werden, sind auch gut, insbesondere bei Betrieben, die Quantenfelder installieren.

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Ich entnehme der Geogebra Dokumentation, dass NCr den Binomialkoeffizienten berechnet. NCr(n, r) wäre dann „n über r“, was die Zahl der Möglichkeiten angibt, eine Teilmenge mit r Elementen aus einer Menge mit n Elementen zu ziehen.

Dieser Wert fliesst bei Bernoulli Ketten ein, wenn du Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Makrozustände berechnen willst. Das bezeichnet man auch als Binomialverteilung.

Ein klassisches Beispiel: eine Fabrik stellt Schrauben her, die mit einer Wahrscheinlichkeit p die Anforderungen erfüllen; alle übrigen sind auszusortieren. Wir wählen zufällig n Schrauben aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau r Schrauben in Ordnung sind?

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit muss offensichtlich

p * … * p * (1-p) * … * (1-p)

enthalten, wobei die p's r-mal auftauchen und die (1-p)'s die übrigen n-r Plätze auffüllen. Wir müssen aber berücksichtigen, dass wir diese Faktoren auf

n! / (r! * (n-r)!)

Weisen anordnen können (die Ununterscheidbarkeit der p's und (1-p)'s berücksichtigend). Diese Zahl ist aber der Binomialkoeffizient. Dort fließt also dein NCr in die Berechnung ein.

Meistens ist man nicht daran interessiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Einzelausgang r ist, sondern dafür, dass die Zufallsvariable Werte innerhalb einer Spanne annimmt à la „mindestens r Schrauben“, „höchstens r Schrauben“ etc.

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Das Mittelalter ist etwas vage - bedenke, dass wir von einem Zeitraum von etwa 1000 Jahren reden. Dazu kommen Unterschiede in den Ritualen der Menschen, je nachdem welche Kultur bzw. Region du betrachtest.

Eine denkwürdige Geschichte in diesem Zusammenhang ist die Bestattung des Normannenkönigs, Wilhelm der Eroberer. Dem soll bei der Beisetzung der Wanst geplatzt sein.

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Natürlich verändert sich die Lösung der PDE, wenn du eine andere Geometrie, also auch andere Randbedingungen betrachtest. Mir ist allerdings nicht völlig klar, was du unter einem runden Behälter verstehst.

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Mal kurz zu den Begriffen:

  • Eine Funktion kann injektiv sein. Das bedeutet, dass ein Element der Co-Domäne von maximal einem aus der Domäne kommenden Pfeil „getroffen“ wird.
  • Eine Funktion kann surjektiv sein. Das bedeutet, dass jedes Element der Co-Domäne getroffen wird.
  • Und eine Funktion kann bijektiv sein. Eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Das bedeutet, dass es zwischen Domäne und Co-Domäne eine Entsprechung gibt.

Wenn eine Funktion nicht surjektiv ist, ist sie in jedem Fall nicht bijektiv.

Wenn eine Funktion nicht injektiv ist, ist sie in jedem Fall ebenso wenig bijektiv.

Wenn eine Funktion nicht bijektiv ist, kann sie noch immer entweder surjektiv bzw. injektiv bzw. nichts von all dem sein.

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Pangaea ist eine Bezeichnung für die erdumfassende Landmasse im Perm. Dieser Superkontinent ist bereits in der oberen Trias wieder auseinander gebrochen. Die Super Dinos aus Kreide und Jura sind darauf also nicht mehr rumgewackelt.

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Der Zug wird konstant beschleunigt, nicht?

Das bedeutet, dass in einem Zeitschritt dt die Geschwindigkeit von v(t) auf

v(t+dt) = v(t) + a * dt

wächst. Anders ausgedrückt ist

dv = v(t+dt) - v(t) = a * dt

bzw

v(t) = v(0) + a * t.

Der Zug steht zum Zeitpunkt t=0. Wir haben also

v(t) = a * t.

In der Zeit dt legt der Zug ein Wegstück

ds = s(t+dt) - s(t) = v(t) * dt = a * t * dt

zurück. Beachte dass

d(t^2) = 2 * t * dt.

Es folgt also

s(t) = s(0) + 1/2 * a * t^2 = s(0) + 1/2 * v(t) * t.

Verwenden wir die Randbedingung s(0) = 0, erhalten wir schließlich

s(t) = 1/2 * v(t) * t bzw. v(t) = 2 * s(t) / t.

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Hast du denn nie zuvor ein solches lineares Gleichungssystem gelöst? Du kannst Gauss-Elimination nutzen, um die Lösung systematisch zu ermitteln. In deinem Fall kann man die Lösung aber fast erraten, da aus der dritten Gleichung bereits r=s folgt. Wie würdest du weiter vorgehen?

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Hi. Nah. Die Eigenschaft, dass die Identität der einzige Körperautomorphismus ist, gilt nicht für beliebige Körper. Du kannst auf wikipedia oder vielleicht auch in deinem Skriptum sicherlich Beispiele finden.

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Das Ereignis, Karten gleicher Farbe zu haben, ist gleich dem Ereignis, zwei schwarze Karten zu ziehen. Im ersten Zug sind zwei von drei Karten schwarz. Wird eine rote Karte gezogen, sind wir im Gegenereignis, andernfalls bleiben eine rote und eine schwarze Karte übrig. Die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Karten zu ziehen, entspricht gemäß der Pfadmultiplikation also

P(zwei Karten gleicher Farbe) = (2/3) * (1/2) = 1/3.

Das Gegenereignis hat die Masse 2/3. Dein Erwartungswert ist folglich

2€ * (1/3) - 0€ * (2/3) = 2/3€.

Edit: Verlesen.

Vielleicht noch zur Interpretation des Erwartungswertes/der ZV: der Erwartungswert gibt hier dein Konto an. Das erwartete _delta_ ist also 2/3€-1€=-1/3€.

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