Unterschied (Karush-)Kuhn-Tucker Bedingungen?
Hallo,
ich lerne gerade etwas zu Optimierungsproblemen. Meine Aufgaben beziehen sich dabei immer auf Kuhn-Tucker-Bedingungen. Wenn ich im Internet suche, finde ich meist etwas zu Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen, sehe aber, dass diese einen kleinen Unterschied zu den Kuhn-Tucker Bedingungen aufweisen.
Was sich mir allerdings nicht erschließt, sind wie die Kuhn-Tucker Bedingungen nun konkret aussehen und wo der Unterschied zu den KKT-Bedingungen liegt.
Wenn ich also eine Aufgabe wie folgende habe:
Dann sind meine Bedingungen, dass
- die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion gleich 0 sind
- Lambda1* (x-1) = 0 & Lambda2*(y-2) = 0 ((also Lambda 1 * erste Nebenbedingung, bzw. Lambda 2* 2. Nebenbedingung)
- Alle Lambda >= 0 sein müssen
Es wäre nett, wenn mir jemand die konkreten Bedingungen, die ich überprüfen muss an diesem einfachen Beispiel in nicht ganz allgemeiner, mathematischer Schreibweise erläutern kann. Einen Rechenweg brauche ich nicht, ich kam auf das Ergebnis x= 1 und y= 2, bin mir aber nicht sicher, ob ich das nachhaltig gelöst habe und bei anderen Aufgaben genauso Erfolg hätte. Ich verstehe die Bedingungen einfach nicht richtig.
Vielen Dank
1 Antwort
f(x,y) = -(x-2)² - (y-3)²
h1(x,y) = x - 1 <= 0
h2(x,y) = y - 2 <= 0
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f'dx = 4 - 2x, f'dy = 6 - 2y
h1'dx = 1, h1'dy = 0
h2'dx = 0, h2'dy = 1
Bedingungen:
(a) f'dx + µ * h1'dx + λ * h2'dx = 0
(b) f'dy + µ * h1'dy + λ * h2'dy = 0
(c) µ und λ >= 0
(d) µ * h1(x,y) = 0
(e) λ * h2(x,y) = 0
Alles einsetzen:
(a) 4 - 2x + µ = 0
(b) 6 - 2y + λ = 0
(d) µ * (x-1) = 0
(e) λ * (y-2) = 0
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(d) und (e) werden erfüllt durch x=1 und y=2.
f(1,2) ist zwar ein Maximum im Bereich x <=1 und y <= 2, jedoch ist (1,2) kein KKT-Punkt, weil er die Bedingungen (a) und (b) nicht erfüllt, denn µ und λ < 0.
Ah. Meine Frage war ja, ob es da einen Unterschied zwischen nur Kuhn-Tucker und KKT-Bedingungen gibt. Oder ist das alles dasselbe?
Habe meine Antwort am Ende angepasst, ansonsten empfehle ich Dir das Video https://www.youtube.com/watch?v=SA5jr99xhHU
Das Video habe ich schon gesehen, danke. Da geht es aber auch um die KKT-Bedingungen, wohingegen die Aufgabe explizit nach nur den Kuhn-Tucker Bedingungen fragt. Das Ergebnis dieser Aufgabe ist als x=1 und y=2 angegeben, welche angeblich alle Bedingungen erfüllen. Deshalb habe ich die Frage hier ja erst gestellt, weil sich mir der Unterschied und die unterschiedliche Herangehensweise nicht ergibt.
Vielen Dank! Wie ist denn der Unterschied zu den KKT Bedingungen? Ändert sich da etwas an d) und e) oder nur woanders?