Lagrange Funktion, wie berechnen ? (Foto im Anhang)?
Hallo,kann jemand vereinfacht erklären, wie man die Nullstellen der ersten partiellen Ableitungen der Lagrange Funktion berechnet (siehe Foto)? Ist Lambda automatisch 0 oder wie muss man sich das vorstellen? Muss man daraus immer zwangsläufig ein Gleichungssystem machen und wenn ja, wie ordnet man Lamba darin an? Danke!
1 Antwort
Hallo,
mit der Lagrange-Methode werden Extremwerte unter Nebenbedingungen gesucht. f(x,y) ist eine Fläche, g(x) eine Gerade, die auf diese Fläche projiziert wird. Was Du suchst, ist ein Extremum entlang dieser Projektion.
Es ist, als gehst Du einen Weg durch eine gebirgige Landschaft. Die Extrema, die Du suchst, sind nicht die höchsten Erhebungen und tiefsten Täler dieser Landschaft, sondern die Höhen und Tiefen dieses Weges.
Die Gradienten der beiden Funktionen sind dabei parallele Vektoren, die sich durch ihre Länge unterscheiden (deshalb das Lambda als Multiplikator). Das Lambda wird nur für das Aufstellen des Gleichungssystems benötigt. Lambda selbst zu berechnen kannst Du Dir dabei sparen.
Deine Lösungsmenge ist da, wo alle drei partiellen Ableitungen gleich Null werden, deshalb brauchst Du das Gleichungssystem.
Es gibt bei YouTube übrigens gute Videos zu diesem Thema, z.B. dieses von Prof. Dr. Hans Cycon:
https://youtube.com/watch?v=NG17_9XtNj8
Herzliche Grüße,
Willy
Du stellst am einfachsten eine Matrix auf. Wie partiell abgeleitet wird, weißt Du?
Du hast also f'(x)=40-2x+λ
f'(y)=20-2y+λ
f(λ)=g(x,y)=x+y-20
Das sortierst Du zunächst nach x, y und λ und machst daraus folgende Matrix:
-2 0 1 -40
0 -2 1 -20
1 1 0 20
Das kannst Du nun nach dem Gauß-Verfahren lösen.
Gleichung I+2*III=0 2 1 0 (Das setzt Du in Zeile 3:
-2 0 1 -40
0 -2 1 -20
0 2 1 0
Nun Gleichung II+III= 0 0 2 -20, was Dich auf λ=-10 bringt.
Einsetzen in Gleichung II:
0 -2 -10, y=5
Einsetzen von λ=-10 in Gleichung I:
-2 -30
x=15
Das war's auch schon.
Gruß,
Willy
Hey, das Prinzip von Lagrange habe ich verstanden, das Video und viele andere bei youtube habe ich auch schon gesehen. Allerdings komme ich aktuell bei der Nullstelleberechnung nicht weiter, ich mache irgendeine Kleinigkeit falsch, denn ich hatte mal das richtige Ergebnis vor einiger Zeit raus..