Was ist der Lösungsweg?

Kann jemand bitte den Lösungsweg angeben?

Answer 1

[mihisu]

[Ich gehe mal davon aus, dass der Bogen symmetrisch ist und auch entsprechend in der Mitte ausgezogen wird, sodass also die Kraftbeträge in beiden Hälften der Sehne gleich groß sind. Theoretisch könnte es ja sonst auch sein, dass in den beiden Sehnen-Hälften unterschiedlich große Kräfte wirken, was die Aufgabe nicht eindeutig lösbar machen würde.]

Zunächst einmal eine Skizze der Situation zur Übersicht:

Die Hand des Schützen zieht mit einem Kraftbetrag F₁ = 100 N nach hinten. Die beiden Sehnen-Hälften ziehen mit Kraftbeträgen F₂ bzw. F₃ die Hand in Richtung der Sehnen.

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Insgesamt herrscht ein Kräftegleichgewicht. (Sonst würde sich die Hand weiter bewegen.) Die Kräfte müssen sich also ausgleichen, sodass, wenn man die entsprechenden Kraftpfeile hintereinander zeichnet (immer mit Fuß eines Kraftpfeils an der Spitze eines anderen Pfeils), die Kraftpfeile ein geschlossenes Dreieck bilden müssen. Konstruiere also ein entsprechendes Dreieck...

Vergleiche die Längen des Kraftpfeils zu F₂ bzw. F₃ mit der Länge des Kraftpfeils zu F₁. [Ein doppelt so langer Pfeil würde beispielsweise einem doppelt so großen Kraftbetrag entsprechen.] Im konkreten Fall sind alle drei Pfeile gleich lang. [Das sollte auch relativ klar sein, da die Innenwinkel jeweils 60° betragen und es sich demnach um ein gleichseitiges Dreieck handelt.]

Dementsprechend haben die Kräfte F₁, F₂ und F₃ alle den gleichen Kraftbetrag von jeweils 100 N.

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Rechnerisch bietet sich evtl. die folgende Darstellung an, in der die Kräfte F₂ bzw. F₃ in Teilkräfte zerlegt werden...

F[2,v] und F[3,v] heben sich gegenseitig auf. F[2,h] und F[3,v] sind gleich groß und müssen zusammen F[1] ausgleichen, sodass dann also...

$F_1=F_{2,\text{h}}+\underbrace{F_{3,\text{h}}}_{=F_{2,\text{h}}}=2\cdot F_{2,\text{h}}$

$\rightarrow\quad F_{2,\text{h}}=\frac{1}{2}\cdot F_1=\frac{1}{2}\cdot 100\,\text{N}=50\text{,}0\,\text{N}$

... ist. Mit dem Kosinus im rechtwinkligen Dreieck (mit F[2], F[2,v] und F[2,h] als Seiten) erhält man dann mit Hilfe des Winkels 60° (wegen 120°/2 = 60°)...

$\sin(60\degree)=\frac{F_{2,\text{h}}}{F_2}$

$\rightarrow\quad F_{2}=\frac{F_{2,\text{h}}}{\sin(60\degree)}=\frac{50\text{,}0\,\text{N}}{\ \frac{1}{2}\ }=100\,\text{N}$

Und aufgrund der Symmetrie ist dann auch F₃ = 100 N.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

ich lade mal eine Skizze hoch.

Die beiden Kräfte in rot müssen die Kraft in blau ausgleichen, da sich die Kräfte am Ansatzpunkt zu Null summieren.

Gesucht sind die Kräfte in grün.

Herzliche Grüße,

Willy