Was hat es mit der Momenten-Methode und der Maximum-Likelihood Methode auf sich?
Aufgabe:
Eine konkrete Aufgabe habe ich nicht sondern eher eine Frage:
Was hat es mit der Momenten-Methode und der Maximum-Likelihood Methode auf sich?
Ich lese immer nur, dass man mit denen "Paramter" schätzt.
Hier mal das, was ich mir bisher zusammengereimt habe:
Soweit ich es verstanden habe, geht es darum, aus einer Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit ziehen zu können. Zieht man aus einer Grundmenge nun mehrere Stichproben, kann man diese wiederum als eine Verteilung (Stichprobenkennwert-Verteilung) darstellen. Von dieser Verteilung kann man dann irgendwelche Messgrößen (Kennwerte) wie z.B. das arithmetische Mittel oder die Varianz berechnen, die aber nicht gleich ist ihrem Pendant in der Grundmenge ist (hier spricht man dann nicht mehr von Kennwerten, sondern von Paramtern).
(Falls das nicht falsch gewesen ist) Welche Rolle spielen nun die beiden obigen Schätzverfahren?
Oder schätzt man mit denen einfach direkt z.B. das Arithmetische Mittel einer Grundmenge? Wenn ja, wie?
Könnte mir das vielleicht jemand erklären als ob ich 5 wäre? :D
1 Antwort
Angenommen du hast eine Parametrisierte Familie. Das ist einfach eine Menge von zufallsverteilungen, dessen Verteilungen von Parametern Abhängen.
Beispiel: die Familie der Normalverteilungen mit dem Erwartungswert mü und die Varianz sigma^2. Sigma^2 und mü sind dann die Parameter, mü kommt aus dem Raum der reellen Zahlen und sigma^2 aus dem Raum der positiven reellen Zahlen.
Man nimmt nun an, dass man eine Stichprobe X_1, .... X_n hat, dessen Realisierungen einer Verteilung der Familie entsprechen und unabhängig zueinander sind.
Ziel ist nun, die zu der Stichprobe gehörenden Parameter zu suchen. Der Maximum Likelyhood Schätzer und der Momentschätzer sind zwei Möglichkeiten, wie man das machen könnte.
Bei der Maximum Likelyhood Methode bestimmt man die Wahrscheinlichkeit, dass für einen bestimmen Parameter die Stichprobe rauskommt (bzw welche Dichte die gemeinsame Verteilung an der Stelle der Stichprobe hat). Man sucht dann den Parameter, der diese Funktion maximiert. Das ist dann der Maximum Likelyhood schätzer. Bei der Normalverteilung würde rauskommen, dass der Maximum Likelyhood Schätzer für mü das Arithmetische Mittel ist, und für sigma^2 die Stichprobenvarianz.
Bei der Momentmethode Bestimmt man stattdessen die Momente der Zufallsvariable, dessen Verteilung aus der Familie entspricht.
Bei der Normalverteilung gilt zum Beispiel:
E(X)=my
E(X^2) = sigma^2+my^2
(Man braucht Normalerweise nur so viele Momente, wie Parameter, also hier 2)
Wir erhalten damit ein Gleichungssystem, welches wir leicht nach my und sigma^2 auflösen können:
my = E(X)
sigma^2 = E(X^2)-E(X)^2
Wir Ersetzen nun E(X) und E(X^2) mit den Momenten der Stichprobe (Bei E(X) ist es das Arithmetische Mittel der Stichprobe, bei E(X^2) das Arithmetische Mittel von X_1^2,...,X_^2) und erhalten dadurch den Momentschätzer (hier ist der Schätzer identisch zum Maximum Likelyhood Schätzer).