Warum Nullstelle bei Integralrechnung beachten?
Hallo,
ich lerne gerade für mein Abi und bin über einige Integrations-Übungsaufgaben gestolpert. Ich soll das Integral von 2x+1 in den Grenzen [-1,1] berechnen. Wenn ich alles so mache, wie ich es kenne, komme ich auf 2 als Ergebnis.
Die Lösung der Aufgabe sagt jedoch, dass ich die Nullstelle bei -1/2 beachten und deshalb das Integral teilen muss.
Kann mir jemand erklären, warum die Nullstelle hier wichtig ist? Die war nicht gegeben und auch mein Taschenrechner sagt, dass da 2 rauskommt.
Vielen Dank für die Hilfe!
4 Antworten
Bei der Berechnung von
muss man keine Nullstellen beachten. 2 ist der richtige Wert des Integrals.
Ich vermute jedoch stark, dass es in der Aufgabenstellung nicht um den Wert dieses Integrals geht, sondern um den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse im Intervall [-1, 1]. Denn dann muss man die Nullstelle beachten. Grund: Das Integral entspricht einem orientierten Flächeninhalt. Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ gewertet, Flächen oberhalb der x-Achse positiv.
Die in der Skizze rot markierte Fläche hat einen Flächeninhalt von 0,25 Flächeneinheiten. Die blau markierte Fläche hat einen Flächeninhalt von 2,25 Flächeneinheiten. Zusammen ergibt sich ein Flächeninhalt von 2,5 Flächeneinheiten.
Der Wert des Integrals im Intervall [-1, 1] beträgt hingegen 2, was dazu passt, dass -0,25 + 2,25 = 2 ist, da bei diesem Integral die 0,25 Flächeneinheiten unter der x-Achse negativ gewertet werden.
Vermutlich bezieht sich in diesem Fall die Aufgabe auf einen Wissensstand, wo die Schüler lediglich nichtnegative Flächeninhalte kennen und bei Flächen unter der Nulllinie das Vorzeichen für das Integral umgekehrt wird.
(Ich habe mich damals gefragt, wieso das einfacher oder verständlicher sein soll als einen vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zu definieren. Inzwischen weiß ich, dass es mir schwer fällt, mich in einen Menschen mit durchschnittlicher mathematischer Begabung hineinzuversetzen, und vermute, dass so jemand mit "negativen Flächeninhalten" überfordert ist.)
Ein Taschenrechner integriert normalerweise voll durch, subtrahiert also die Flächen unter der x-Achse automatisch. Schuld ist immer, wer am TR sitzt. Der muss eben daran denken, dass beim Zahlenrechnen mit Integralen Fächen unterhalb der Achse von denen oberhalb subtrahiert werden.
Also immer schön von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Absolutwerte addieren!
Beim Finden der Nullstellen helfen aber viele (teurere) Rechner.
+3
∫ x³ dx = 0
-3
Hier integrieren von -3 bis 0 und dann von 0 bis 3.
Du kannst dir das bei der Sinuskurve ziemlich gut klar machen. Wenn du alle Flächen addierst, kommst du genau auf 0, weil die Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen tragen. Da es in der Realität aber keine negativen Flächen gibt, addiert man die Beträge, kehrt also das Vorzeichen der negativen Flächen. Dazu muss man wissen, wo die negativen Flächen beginnen und enden und das sind bei stetigen Funktionen die Nullstellen.
Du musst hier je nach Aufgabe unterscheiden.
Musst du die Fläche unter der Kurve oder das Integral berechnen?
Für die Fläche unter der Kurve musst du quasi "Betragsintegrieren" weil es ja keine negativen Flächen gibt.
Daraus folgt, dass du unterscheiden musst wann der Integrant negativ und wann positiv ist. Solange der Integrant negativ ist musst du das Vorzeichen von diesem Umdrehen, solange er positiv ist musst du nichts machen.
Wenn du in deinem Beispiel das Integral bis zur Nullstelle berechnest wirst du merken, dass dier hier eine negative Fläche rauskommen würde. Diese negative Fläche musst du jetzt positiv machen, also das Vorzeichen umdrehen.
Wenn du nur das Integral berechnen musst dann stimmt dein Ergebnis.
Danke! Tatsächlich war in der Aufgabe nur die Funktion mit den Grenzen gegeben und den Worten "Integriere die Funktion". ^^;