Warum gibt es eigentlich keine 3. binomische Formel für höhere Potenzen?

Warum findet man die 3. binomische Formel nicht für höhere Potenzen? Also a³-b³ oder a⁴-b⁴ usw...?

Answer 1

[LUKEars]

also für gerade Exponenten „2n“ wäre es ja das da:

$a^{2\cdot n}-b^{2\cdot n}=(a^n+b^n)\cdot(a^n-b^n)$ oder?

Comments

[Aron5]

Aber bekommt man damit ungerade Exponenten ohne Brüche hin?

[LUKEars]

@Aron5

nein...

[Aron5]

Es funktioniert!

[LUKEars]

@Aron5

kicher 😋

[Aron5]

@LUKEars

Wie wird das denn hergeleitet? ich kann es mit den Binomialkoeffizienten nicht herleiten und finde komischerweise gerade zur 3. bin. Formel nicht viel im Netz.

[LUKEars]

@Aron5

hm... das geht iwi nicht...

[PWolff]

@Aron5

Potenzgesetze und sonstige Rechenregeln:

a^(2 n) = a^(n * 2) = (a^n)^2

Substitution: a' := a^n, b' := b^n

Answer 2

[PWolff]

Die Formel wird dann etwas länglich.

Es handelt sich um die Umkehrung der Formel für die endliche geometrische Reihe und eine Verallgemeinerung hiervon:

1 + q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

(1 + q + q^2 + ... + q^n) * (1 - q) = 1 - q^(n+1)

Beide Seiten mit a^(n+1) multipliziert und b := a * q substituiert:

(a^n + a^(n-1) b + a^(n-2) b^2 + ... + a^2 b^(n-2) + a b^(n-1) + b^n) * (a - b)

= a^(n+1) - b^(n+1)

Answer 3

[manfredkock]

(a - b)^3 = (a - b) ( a- b) (a - b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 -b^3 . Hier siehst du, dass sich der Mittelteil, wegen der unterschiedlichen Potenzexponenten von a u. b nicht aufhebt. Daher kann hier keine dritte binomische Formel angewendet werden. Das gleiche gilt für (a - b )^4 . Da ist es noch gravierender. Also kann es auch keine vierte binomische Formel für ( a - b )^4 geben.

LG von Manfred

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[Aron5]

Es gibt ja nur 3 binomische Formeln. Das (a-b)⁴ entspricht der 2. binomischen Formel für die 4. Potenz. das ist leicht mit den binomialkoeffizienten berechenbear.

[manfredkock]

@Aron5

( a - b )^4 = a^4 -4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 +b^4 . Was entspricht daran die 2. binomische Formel? LG von Manfred

[Aron5]

@manfredkock

Die 1. lautet (a+b)^x

Die 2. lautet (a-b)^x

Die 3. lautet (a+b)(a-b) = a²-b²

[Aron5]

@manfredkock

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a-b)⁴ = a⁴ - 4a³b+6a²b² - 4ab³+b⁴

(a⁴+b⁴)(a⁴-b⁴)?

5! = (3*4*5*2)? Scherz :P

Answer 4

[evtldocha]

Es gibt den binomischen Lehrsatz für beliebige Potenzen n:

$\left(x+y\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^n\cdot y^{n-k}$

und den Binomialkoeffizienten

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}$

(Stichwort dazu auch: "Pascalsches Dreieck")

Comments

[Aron5]

Den kenne ich bereits. Der lässt sich aber nicht auf die 3. binomische Formel anwenden, oder?