Wahrscheinlichkeit berechnen?
In drei undurchsichtigen, äußerlich identischen Beuteln befinden sich weiße und graue Kugeln, die sich lediglich durch ihre Farbe unterscheiden. Einer der drei Beutel wird zufällig ausgewählt. Aus diesem Beutel wird eine der Kugeln gezogen.
A: 6 weiße und 4 graue Kugeln
B: 3 weiße und 5 graue
C: 1 weiße und 3 graue
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel grau ist.
Ansatz: Hier habe ich die Wahscheinlichkeiten multipliziert und jeweils addiert: 1/3*4/10+1/3*5/8+1/3*3/4=59.17%
Ist mein Ansatz korrekt?
b) Die gezogene Kugel sei weiß. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel aus Beutel A, aus Beutel B oder aus Beutel C stammt.
Als Ansatz habe ich P(Grau)=1-P(weiß)=0,41 berechnet und dann P(weiß in Beutel A) durch P(weiß). Da kommt aber 1.46 raus.
Wo liegt der Fehler?
2 Antworten
a) passt
b) hier hast Du es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P_w(A) zu tun [Wahrscheinlichkeit für Beutel A unter der Bedingung, dass weiß gezogen wurde]
Und das ist P(A n w)/P(w). P(A n w) ist die Wahrscheinlichkeit des "Pfades" A->w, also 1/3*6/10, das durch P(w), also durch 0,4833 ergibt 0,4898.
Habe mich, warum auch immer, bei P(w) verschrieben: ist 0,4083, wie Davian schon richtig berechnet hat, nicht 0,4833. Das Ergebnis 0,4898 passt wieder...
Ansonsten "sollte" es stimmen. Bei Deiner Rechnung wird auch die Gesamtzahl an Kugeln nicht berücksichtigt. Lägen z. B. übertrieben gesprochen in Beutel A außer den 6 weißen Kugeln 1.000.000 graue Kugeln (und in den anderen nur weiße), dann wäre es äußerst unwahrscheinlich, dass die gezogene weiße Kugel aus Beutel A stammte.
Stimmt schon, allerdings ist die weiße Kugel bereits gezogen, völlig unabhängig davon wie (un-)wahrscheinlich dieses Ereignis auch immer gewesen sein mag. Und in der Gesamtverteilung beinhaltet Beutel A nun mal 60% der weißen Kugeln. 😮🙊
Wenn eine weiße Kugel gezogen wurde, dann kommt es doch mit darauf an, wie wahrscheinlich es war, diese aus dem jeweiligen Beutel zu ziehen.
D. h. bei meinem übertriebenen Beispiel muss sich der Ziehende erst einmal mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 für Beutel A entschieden haben, und dann auch noch eine von diesen wenigen weißen unter 1 Mio grauen Kugeln entnehmen. In den anderen 2/3 der Fälle, in denen er sich für B oder C entscheidet, zieht er zu 100 % eine weiße. D. h. doch, dass die gezogene weiße Kugel wahrscheinlicher aus B oder C stammt, statt aus A!
Ich hoffe, Davian gibt hier nach Besprechung der Aufgabe in der Schule die Lösung des Lehrers bekannt - vielleicht hat der noch eine dritte Version...
Hallo.
Ist mein Ansatz korrekt?
Sieht gut aus. 👍
Wo liegt der Fehler?
Es gibt 10 weiße Kugeln. 6 davon liegen in Beutel A, 3 in Beutel B und 1 in Beutel C.
Also A=0,6 | B = 0,3 | C = 0,1
Hmm...