Unterschied zwischen RxR und C - Ableitungsbegriff im komplexen?

Hallo,

Die komplexen Zahlen und das kartesische Produkt RxR sind äquivalent.

Jedoch ist soweit ich weiß der Ableitungsbegriff anders definiert auf C. Das hat zur Folge, dass ab dem Moment die Funktionentheorie einsetzt die sich von Untersuchungen des RxR abgrenzt.

Nun sind die Errungenschaften der Funķtionentheorie so bahnbrechend, dass ich gerne besser verstehen würde worin 1. Der große Unterschied liegt beim ableitungsbegriff auf RxR und in C.

2. Kann jemand erklären was den Ableitungsbegriff bzw Holomorphie im komplexen so verdammt aussagekräftig macht, dass sich daraus viel ableiten lässt...(zB jedes geschlossene Integral hat Wert 0, Berechnung uneigentlicher integraler...)

Answer 1

[Enzi1]

1. Eine funktion ist holomorph wenn sie komlex diff`bar ist. Sprich zerlege die Funktion f(z) = g(z)+i*h(z), g und h sind reelle Funktionen. Sind diese reell diff'bar und gelten die Couchy-Riemann Differentialgleichungen, so ist die Funktion holomorph.
2. Es gibt mehrere Sätze(eigentlich alle) wie den Couchy-Integralsatz die eine Funktion f holomorph vorraussetzten. Diese besagen dann, dass zB. das geschlossene Wegintegral über die Funktion immer 0 ist. Um das zu verstehen, musst du allerdings dir die Beweise der Sätze genau anschauen.