Unterschied Asymptote - Grenzwert?

3 Antworten

Eine Asymptote ist eine Funktion, der die eigentliche Funktion im Unendlichen immer näher kommt ohne sie jedoch zu erreichen.

Des Weiteren gibt es senkrechte Asymptoten. Diese sind dort, wo die Funktion ihre Definitionslücke (Polstelle) hat. Nähert sich die Funktion dieser (x-)Stelle an, laufen die Funktionswerte Richtung plus- od. minus-Unendlich.

Asymptoten treten in der Regel bei gebrochen-rationalen Funktionen auf, bzw. dort kann man sie berechnen. Waagerechte Asymptoten hast Du, wenn der Zähler- und Nennergrad (das sind die jeweils höchsten Exponenten von x) gleich sind. Dann ist die Asymptote/der Grenzwert der Bruch dieser Koeffizienten. Beispiel: f(x)=(7x³+2x-1)/(3x³+5) => Asymptote: g(x)=7/3, d. h. die Funktion f nähert sich im Unendlichen dem Wert 7/3 an.

Ist der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad, dann ist die Asymptote eine Gerade; ist er um 2 größer, dann ist die Asymptote eine Parabel, usw.
Diese Art der Asymptoten errechnest Du mit Hilfe der Polynomdivision.

Für die senkrechten Asymptoten ermittelst Du "einfach" die "Nullstellen" des Nenners. Dann setzt Du in die Funktion Werte ein, die sehr nahe an dieser Definitionslücke liegen und schaust, was als Funktionswert rauskommt (entweder plus- oder minus-Unendlich).

Ein Grenzwert ist gegenüber der Bestimmung der Asymptote eine "ungenauere" Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen. Hier wird "nur" mitgeteilt, ob die Funktion Richtung plus- oder minus-Unendlich läuft (wenn es sich nicht um eine waagerechte Asymptote handelt). Die Asymptote zeigt genauer, wo die Funktionswerte hinlaufen (was letztendlich sicher auch niemanden interessiert...).

Rechnerisch klammerst Du bei der Grenzwertbestimmung das x mit dem höchsten Grad aus; kürzt und schaust, was für ein Vorzeichen rauskommt, wenn Du hohe positive bzw. negative Werte einsetzt.
Beispiel: f(x)=(4x³+x-1)/(-x²-7x+3)
lim (4x³+x-1)/(-x²-7x+3) = lim x³(4+1/x²-1/x³)/(x²(-1-7/x+3/x²)) =
lim x(4+1/x²-1/x³)/(-1-7/x+3/x²) = lim x(4+0-0)/(-1-0+0) = lim -4x

für x->plus-Unendlich ist der Grenzwert minus-Unendlich für x->minus-Unendlich ist er plus-Unendlich.

Eine Asymptote ist eine Gerade.

Diese kann senkrecht verlaufen bei z.Bsp. y=2/x mit x=0 ist dort ein Pol .Die Senkrechte liegt hier bei x=0

allgemeine Form der Asymptote ist y=m*x+b

Asymptote beliebiger Richtung von k : y=f(x)

m=lim((f(x)/x) mit x gegen unendlich

b=lim((f(x)-m*x)) mit x gegen unendlich

TIPP: Beosrge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen,da brauchst du nur abschreiben.

"Asymptote" Kapitel "Differentialrechnung"

"Genzwert" siehe Mathe-Formelbuch "Grenzwert","Stetigkeit","kurvendiskussion"

"rechnen mit Grenzwerten"

"unbestimmte Ausdrücke"  0/0 und unendlich/unendlich

Formel von "L´Hospital" anwenden

lim(f(x)/g(x)=lim(f´(x)/g´(x) mit x gegen xo ergibt den "Grenzwert" ,wenn x gegen xo geht.

dy/dx=f´(x) 1.te Ableitung von f(x)

dy/dx=g´(x) 1.te        "              g(x)

Eine senkrechte Asymptote hat man nur dort, wo es keinen Grenzwert gibt und wenn es ihn gäbe, er dann +∞ oder -∞ wäre.

Ansonsten würde ich sagen, dass die Asymptote die grafische Annäherung einer Funktion an einen Grenzwert darstellt.

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