Überabzählbarkeit von R?
Hallo, ich verstehe die markierte Folgerung in diesem Beweis nicht. An sich macht es schon Sinn, aber warum verwendet man ausgerechnet +- 2 und nicht zuletzt.B. +- 1.
Und in der Folgerung steht ja |z - X_n|. Das ist ja quasi |0,A_nn +-2 - A_nn| Und das ist doch 2 mal 10^-n warum setzt man das also nicht gleich? Damit hätte man doch auch ein Beweis dass X_n und z verschieden sind
.
Ach ja, noch eine vielleicht etwas dumme Frage zum Konzept des Beweises. Könnte man mit demselben Argument nicht behaupten Q wäre überabzählbar? Denn man kann ja auch eine Zahl konstruieren, die in der bisherigen Liste der Qs nicht enthalten ist, z B. 1/ Summe aller bisherigen Nenner, das ist doch dasselbe und dennoch ist Q abzälbar, das verstehe ich nicht.
2 Antworten
Könnte man mit demselben Argument nicht behaupten Q wäre überabzählbar?
Nein, das kann man nicht. Denn je nach Anordnung der rationalen Zahlen in der Liste wäre die so konstruierte Zahl nicht periodisch, also kein Element von Q, damit kann kein Widerspruch erzeugt werden.
??? In der Liste im Beweis werden doch unendliche Dezimalbrüche, und zwar mit beliebiger Reihenfolge der einzelnen Stellen, betrachtet. Q ist aber lediglich eine Teilmenge dieser Menge der unendlichen Dezimalbrüche. Q ist die Menge der abbrechenden und der periodischen Dezimalbrüche. "Abbrechend" bedeutet dass die Stellen bei hinreichend großem n alle zu 0 werden (z.B. 1/4 = 0,2500000...). Periodisch bedeutet dass sich die Reihenfolge der Ziffern ab einem gewissen Punkt unendlich oft wiederholt (z.B. 1/6 = 0,166666666...). Die im Beweis für R konstruierte Zahl ist nicht notwendig rational, auch wenn du die Liste nur auf rationale Zahlen beschränkst und damit nicht für den Beweis verwendbar.
Okay, verstehe, aber der Vorschlag für eine Zahlenkonstruktion wie 1/(Summe aller bisherigen Nenner von Q) wäre ja wiederum eine rationale Zahl. Und dann hätte man eine Zahl, die in der bisherigen Liste Q nicht enthalten ist und so geht man ja im Prinzip auch für R vor. Man könnte die Zahl zwar dann nachträglich hinzufügen aber das könnte man bei dem Cantorschen Diagonalverfahren ja ebenfalls. Wo liegt denn mein Fehler? Ich bin so dumm, weil ich es nicht verstehe😪 Sorry
Okay, verstehe, aber der Vorschlag für eine Zahlenkonstruktion wie 1/(Summe aller bisherigen Nenner von Q) wäre ja wiederum eine rationale Zahl.
Die Konstruktion die du anführst ist endlich, nicht unendlich. Zu einer eindlichen Konstruktion kann man logischerweise immer eine hinzu fügen, die bisher nicht aufgeführt ist. Das (zweite) Cantor'sche Diagonalelement geht von einer unendlichen Liste mit unendlich vielen Dezimalstellen aus und zeigt dann dass es eine weitere Zahl mit unendlich vielen Dezimalstellen gibt die nicht in dieser Liste enthalten sein kann. Dein Vorgehen scheitert bereits am ersten Punkt, der in beide Dimensionen (abzählbar) unendlichen Liste.
Danke, ich denke, ich habe es nun verstanden
Warum ist Q abzählbar ?
Man zählt alle gekürzten Brüche nach der Summe der Beträge von Zähler und Nenner auf:
Summe 1: 0/1
Summe 2: +- 1/1
Summe 3: +- 1/2, +- 2/1
Summe 4: +- 1/3, +- 3/1
Summe 5 : +- 1/4, +- 2/3, +- 3/2, +- 4/1
usw.
Das war aber nicht die Frage des Nutzers. Die Frage war warum das Argument welches für R gilt nicht auch für Q anwendbar ist.
Okay danke, meinst du mit Periodizität, dass die Zahl unendlich oft vorkommt? Wie beispielsweise 1 oder 1/2?