Stimmt es, dass das Integral einer Dreieckschwingung derart stark einer Sinusfunktion ähnelt?
Oder handelt es sich bei der Abbildung um einen Fehler? Wenn ja, wie sieht es dann aus?
2 Antworten
Die Integralfunktion einer Dreiecksfunktion ist offensichtlich eine Spline-Funktion mit quadratischen Funktionen zwischen den Anschlußstellen. Damit ist aufgrund der ähnlichen Glattheit und des ähnlichen Krümmungsverhaltens bereits klar dass sie einer Sinusfunktion durch die gleichen Anschlußstellen ähnlich sehen muß. Noch genauer wäre das zweifache Integral, beachte dazu auch die Taylorreihe des Sinus bis zur dritten Potenz.
Bedenke das man mit quadratischen Splines beliebig genau nähern kann. Besser geht es noch mit kubischen Splines. Die Antwort ist aber "es hängt davon ab", da natürlich die Dichte der Nullstellen ggf. eine feinere Zerlegung erfordern kann und die Stetigkeitsbedingungen bei quadratischen Funktionen an den Anschlußstellen nicht erfüllbar sind (Stetige Differenzierbarkeit liefert vier Bedingungsgleichungen, davon können nur drei mit einer quadratischen Funktion erfüllt werden).
Die dritte Oberwelle der Dreieckschwingung hat nur 1/9 Amplitude der ersten. Das ist dann schon ziemlich sinusförmig.
Es gibt nur ungerade Oberwellen. Die fünfte hat nur noch 1/25 der Amplitude der ersten.
Quelle: https://www.math.uni-rostock.de/~dreher/applets/fourierdreieck.html
Verstehe ich nicht. Die Amplitude ist doch überall gleich groß?
Jede periodische Schwingung lässt sich als Summe von Sinusschwingungen darstellen. Die Sinusschwingung mit der selben Frequenz wie die ursprüngliche Schwingung (hier: Dreieck) nennt man Grundschwingung oder Grundwelle. Dazu kommen Sinusschwingungen mit Frequenzen, die ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz sind. Die nennt man Oberwellen. Jede der Oberwellen hat ihre eigene Amplitude und kann gegen die Grundwelle auch zeitlich versetzt sein.
Soweit ich weiß, ist die dahinterliegende Mathematik (Fourierreihe) in der Schule kein Lehrstoff, auch zum Abi nicht.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Heißt das im Umkehrschluss, das jeder Abschnitt einer Sinus-/Cosinuskurve von Nullstelle bis Nullstelle annähernd parabelförmig ist?