Sind unendlich mal 2 mehr als unendlich mal 1?

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Beim Rechnen mit Unendlichkeiten gibt es einiges, was paradox erscheint oder zumindest unserer Intuition widerspricht.

Vorab: Für den Mathematiker gibt es kein größeres oder kleineres Unendlich, sondern nur verschieden mächtige Unendlichkeiten und Grenzwerte.

Jetzt aber zu deiner Frage: 2m × ∞ ist gleich lang wie 1m × ∞ und g wiegt gleich viel wie ∞ kg.

Klingt komisch, daher nehme ich mal ein anderes Beispiel: Hilberts Hotel (nach dem gleichnamigen Mathematiker). Dieses Hotel ist so besonders, weil es abzählbar unendlich viele Zimmer hat und die Zimmernummern der Menge der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; ...} entsprechen.

Das Hotel ist mit unendlich vielen Gästen voll belegt - da klingelt es an der Rezeption und ein neuer Gast möchte ein Zimmer. Geht das, obwohl das Hotel eigentlich voll ist?

Interessante Antwort: Ja, das geht!

Der Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw. Damit ist Zimmer 1 für den neuen Gast frei, und da das Hotel unendlich viele Zimmer hat, findet jeder Gast ein neues Zimmer, ohne daß Hilbert anbauen muss. Also:

∞ + 1 = 

Machen wir es schwieriger: Da kommt ein Bus mit abzählbar unendlich vielen neuen Gästen. Auch die finden Platz! Diesmal zieht der Gast von Zimmer 1 in Zimmer 2, der von Zimmer 2 nach Zimmer 4 , von 3 nach 6, 4 nach 8 usw. Also immer in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer.

Damit sind unendlich viele Zimmer mit gerader Nummer belegt und unendlich viele Zimmer mit ungerader Nummer sind für die neuen Gäste frei. Also:

∞ ∞ = 

Und im letzten Schritt fahren plötzlich abzählbar unendlich viele Busse mit jeweils abzählbar unendlich vielen neuen Gästen vor - und die bekommen auch alle Zimmer! Wie beim letzten Mal werden alle ungeraden Zimmer geräumt und dann Potenzen von Primzahlen verwendet (d.h. die Passagiere aus dem 1. Bus bekommen die Zimmer 3^1=3; 3^2=9; 3^3=27; ...; die aus dem 2. Bus die Zimmer 5^1=5; 5^2=25; 5^3=125;...; die aus dem 3. Bus Zimmer 7^1=7; 7^2=49; 7^3=343 usw.)

Also:

∞ + ∞ × ∞ = 

Und jetzt sollte eigentlich klar sein, daß man mit Unendlichkeiten eben nicht wie mit normalen Zahlen rechnen kann.

Verschieden mächtige Mengen sind unterschiedlich groß. Außerdem gelang es erstmals ROBINSON, mit der Nichtstandard-AnaIysis eine konsistente Theorie mit unterschiedlich großen Unendlichkeiten zu formulieren.

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Sehr interessant, worüber du da philosophiert. ;D

Eine kleine "Gegenfrage":

Betrachten wir die Zahlenmenge der Natürlichen zahlen (1, 2, 3, 4 ...)

Gibt es nun halbsoviele Gerade Zahlen wie Zahlen überhaupt? ^^

Logisch gäbe es nur halbsoviele gerade Zahlen, aber mathematisch gesehen gibt es von "beiden Mengen gleichviele", denn es gibt "immer unendlich viele Zahlen"...

LG und viel Spaß beim "weiterphilosophieren". :P

Wenn man mit dem Limes arbeitet und beispielsweise das hier hat

Lim x³/x²
x - -> unendlich

Dann könnte man ja annehmen, dass 1 rauskommt, weil unendlich² und unendlich³ sich mich viel nehmen (ist ja beides unendlich), aber erstaunlicher weise sagt man, dass die Variabel mit dem größten Exponenten überwiegt!
Heist unendlich³>unendlich²
Es würde also unendlich rauskommen und nicht 1

Man kann es sich auch so vorstellen
Stell dir mal vor du hast unendlich viel Geld, aber pro Jahr wird dir nur 5€ überwiesen (aber halt unendlich lang)
Und jetzt stell dir vor dir wird jährlich 1 Mrd. € überwiesen (unendlich lang)
Wer von beiden ist wohl reicher?

Beide gleich, der zweite wird nur schneller reicher.

Ebenso wie x^3 eben schneller wächst als x^2, deswegen ist der Grenzwert unendlich.

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