Schnittpunkt zweier Funktionen (Lineare und Exponentialfunktion)?
Könnte mir bitte einer erklären, wie man den Schnittpunkt dieser beiden Funktionen ausrechnet:
f(x)=8x+20
g(x)=201,2^x
Prinzipiell weiß ich ja, dass man die Funktionen erst gleichsetzt und dann halt nach x auflöst.
Leider kommen ich nicht auf das richtige Ergebnis... Ich vermute, dass ich da was mit dem Logarithmus nicht richtig mache. Ich würde mich sehr über eine ausführliche Antwort freuen 🙂, danke schon mal.
5 Antworten
gleichgesetzt 8*x+20=201,2^x ergibt
-201,2^x+8*x+20=0
rechnerisch ist diese Aufgabe mit normalen Mitteln nicht lösbar,weil einmal das x im Exponeten steht und einmal nicht!
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) x1=-2,4999...=-2,5 und x2=0,60567..
In "handarbeit muß man sich durch probieren an eine Nullstelle herantasten.
1) eine Wertetabelle aufstellen und auf Vorzeichenwechsel achten.
Hinweis: Es gibt Funktionen,wo der Graph nur die x-Achse berührt und somit gibt es da keinen Vorzeichenwechsel.
Hier muß man dan darauf achten,ob der Graph sich der x-Achse nähert und dann wieder entfernt.
Hat man den ungefähren Wert für eine Nullstelle,dann muß man den Wert mit den Näherungsformeln von "Newton" (Tangentenverfahren) oder "Regula falsi" (Sehenverfahren) verbessern.
Die Formeln werden mehrmals angewendet und bei jeden rechendurchgang verbessert sich der Wert.
Ist der Wert auf 1-2 Stellen hinter den Komma genau,so bricht man ab.
Diese Aufgaben werden von den Paukern gestellt,um die Schüler zu verarschen.
Gemäss Fragesteller (eigene "Antwort") lauten die Gleichungen
8x+20
20 * 1,2^x
Somit sind deine x1 und x2 falsch.
Oft hilft mal, die beiden Funktionen zu skizzieren oder mit einem Funktionsplotter im Internet oder auf dem Grafikrechner zu zeichnen.
Dann siehst du, dass es zwei Lösungen (Schnittpunkte) geben muss.
Lösungen dürfen auch erraten oder ausprobiert werden.
Eine der Lösung könnte auch ohne Grafik ins Auge springen:
Die Gerade f(x) geht bei y=20 durch die y-Achse. (x=0).
Auch g(x) hat bei x=0 den Wert y=20 (weil etwas hoch 0 = 1 ist).
Also ist eine Lösung x=0.
Für die andere Lösung versucht man üblicherweise tatsächlich die Gleichsetzung, und dass man das x allein bekommt. Anfang:
8x+20 = 20 * 1,2^x | :20
(8/20) * x = 1,2^x | log
log(2/5) + log (x) = x * log 1,2
Spätestens hier muss man aber erkennen, dass dieses Problem nicht analytisch lösbar ist! Es gibt also keine algebraischen Umformungen, die zu einer Aussage x= Lösung führen.
Man muss ein numerisches Verfahren anwenden.
Als zweite Lösung kommt dann 7.7263... raus.
8x + 20 = 20 * 1.2^x | /20
0.4 x + 1 = 1.2 ^ x | log
log 1.2 (0.4x + 1) = x
Kann man nicht definieren
Da wirst Du Deinen GTR einsetzen müssen: Graphen zeichnen und Schnittpunkt bestimmen lassen.
Oder: Viele TR kennen heutzutage den Befehl nSolve, auch "nur" GTR, also nicht-CAS. Dann solltest Du mal die Eingabe nSolve(8x+20=20*1.2^x,x) versuchen.
Das Problem hier ist, dass es zwei Schnittstellen gibt, die Funktion nSolve aber grundsätzlich nur eine Lösung liefert (hier wahrscheinlich x=0). Wenn Du aufgrund der Anschauung weißt, dass es eine zweite Schnittstelle geben muss (mit einem größeren x-Wert), kannst Du auch zusätzlich einen sog. Startwert eingeben, also z.B. nSolve(8x+20=20*1.2^x,x,5). Mit dem Startwert musst Du so lange spielen, bis der Rechner eine andere Lösung als x=0 ausspuckt.
Das ist heute ein üblicher "Rechen"weg.
Man könnte auch (mit GTR) beide Graphen zeichnen und mit der trace-Variante die Schnittstelle näherungsweise bestimmen.
Meiner hat eine Graphikfunktion und dann kann man eine ganze Kurvendiskussion durchführen.
Graphikmenü aufrufen und dann:
1) Gleichung eingeben 0=201,2^x-8*x-20
2) Graph zeichnen lassen mit "EXE"
3) mit Funktionstaste LV" dann mit Taste "ROOT" Nullstellen berechnen lassen
Schnittstellen berechnet der mit der Funktionstaste "G-SLV" dann Taste "ISCT"
Das it dann der Punkt, wo der Mathematikunterricht seinen Sinn verliert...
Das ist ein typischer Fall von "Denkste"!
Beispiel: f(x)=a*sin(w*x+b)+c f(x)=a*sin(2*x-2)+0
GTR haben eine Dynamikgraphik,mit der man solche Funktionen untersuchen kann.
Das Ergabnis wird dann in den Unterlagen notiert.
für a setzt man Start a=-2 und End a=2 Step=1 (Schrittweite)
Der GTR rechnet dann die Funktion mit diesen Werten aus und zeichnet diese auf.
Man sieht dann,welchen Einfluß a auf die Funktion hat.
Das Selbe macht man dann mit w,b und c
Diese Arbeit kann man in "Handarbeit" unmöglich leisten.
Man sieht an diesen Beispiel,daß Schüler ohne GTR gegenüber Schülern mit GTR sehr schwer benachteiligt sind.
Ich habe mit meinen GTR sehr viele Aufgaben gerechnet. In "Handarbeit" hätte ich das nie geschafft.
Mein gesamtes Wissen über Funktionen,beruht auf dem Mathe-Formelbuch- da schreib ich immer ab- und die Nutzung von meinen GTR CFX-9850GC Plus (Casio).
Der rechnet schon seit 12 Jahren ohne einen Fehler.
Diesen Weg kenne ich zwar auch, da er aber grundsätzlich nur mehr oder weniger genau ist (WINDOW-Einstellung...), verzicht ich immer drauf ;-)
Erst muss das Verständnis der Grundlagen da sein, dann kann der Rechner als Werkzeug benutzt werden. Ein großer Teil der Schüler hat aber die Dinge gar nicht begriffen, die der Rechner ihm abnimmt. Das Problem reduziert sich hier auf das Auswendig Lernen der notwendigen Tastenfolge.
Welchen Sinn soll eine Kurvendiskussion haben, für die der Rechner die Antwort liefert? (Der Weg ist das Ziel...)
Ups g(x)=20*1,2^x sollte es heißen
8x+20=20*1,2^x | /20
2/5 * x + 1 = 1,2^x
0=201,2^x-8*x+20Nullstellen mit meinen GTR (Casio) x1=-2,4999... x2=0,60567