Schnittpunkt von exponentialfunktionen?
Ich muss morgen dieses Thema und dazu diese Aufgabe verstehen. Doch ich verstehe das alles nicht. Ich hoffe nur um eine ausfĂŒhrliche ErklĂ€rung zur Lösung
4 Antworten
Die Lösungen sind ja schon recht genau erklÀrt, an welcher Stelle hakt es denn?
Allgemein ist eine Wachstumsfunktion immer etwas wie f(t)=Anfangswert*(1+Zuwachs)^t
Die jeweiligen Werte eingesetzt, kommen die beiden Funktionen heraus. Der Zuwachs im Fall von Alpha sind 60%, das sind als Dezimalzahl 0,6, daher 1,6 hoch t, bei Beta analog mit 20% (=0,2 als Dezimalzahl)
N ist einfach die Bezeichnung der Funktion, in diesem Fall fĂŒr die bedeckte FlĂ€che
Auf die BrĂŒche kommt man durch Teilen, 1,2^t werden damit nach links gebracht, die 300 nach rechts. Der Schritt zum t*log 4/3 ist logarithmieren der ganzen Gleichung. Dann kann aus log ((4/3)^t) das t als Vorfaktor herausgezogen werden.
Bei B ist das Ergebnis jeweils die FlÀche die bedeckt ist zum Zeitpunkt t, den man eingesetzt hat. Damit probiert man so lange herum, bis das Ergebnis möglichst nah an 1000000 ist.
N_i(t) steht fĂŒr die FlĂ€che, die die Algenkolonie Nummer i zum Zeitpunkt t in Quadratzentimetern auf dem Teich einnimmt.
N_i(t) ist Algenkolonie Nummer i
N_1(t) ist Algenkolonie Nummer 1 (Alpha)
N_2(t) ist Algenkolonie Nummer 2 (Beta)
Die Grundformel lautet :
N_i(t) = N_i(0) * (1 + q_i / 100) ^ t
N_i(t) = FlÀche der Algenkolonie Nummer i zum Zeitpunkt t in Quadratzentimetern auf dem Teich
N_i(0) = FlÀche der Algenkolonie Nummer i in Quadratzentimetern zum Beginn
q_i = Wachstumsrate der Algenkolonie Nummer i in % (Prozent)
t = Zeit
Algenkolonie Nummer 1 (Alpha) :
N_1(t) = N_1(0) * (1 + q_1 / 100) ^ t
Mit :
N_1(0) = 300
q_1 = 60
Also :
N_1(t) = 300 * (1 + 60 / 100) ^ t
Kann man vereinfachen :
N_1(t) = 300 * 1.6 ^ t
Algenkolonie Nummer 2 (Beta) :
N_2(t) = N_2(0) * (1 + q_2 / 100) ^ t
Mit :
N_2(0) = 800
q_2 = 20
Also :
N_2(t) = 800 * (1 + 20 / 100) ^ t
Kann man vereinfachen :
N_2(t) = 800 * 1.2 ^ t
Da man wissen will, zu welchem Zeitpunkt die BestÀnde der beiden Algenkolonien die gleiche FlÀchen auf dem Teich einnehmen, setzt man die beiden Gleichungen gleich :
300 * 1.6 ^ t = 800 * 1.2 ^ t
Die Gleichung durch 1.2 ^ t teilen :
300 * (1.6 ^ t) / (1.2 ^ t) = 800
Die Gleichung durch 300 teilen :
(1.6 ^ t) / (1.2 ^ t) = 800 / 300
DafĂŒr kann man schreiben :
(1.6 / 1.2) ^ t = 8 / 3
1.6 / 1.2 ist dasselbe wie 4 / 3, also :
(4 / 3) ^ t = 8 / 3
Gleichungen der Form a ^ t = b löst man nach t auf durch t = log (b) / log (a)
Also deine Gleichung durch :
t = log(8 / 3) / log(4 / 3)
DafĂŒr brauchst du einen Taschenrechner und erhĂ€ltst :
t â 3.409420839653209...
Wenn du es jetzt immer noch nicht verstehst, dann nimm Nachhilfeunterricht !
Ich habs verstanden danke dir fĂŒr deine Zeit đđđŒ
Gerne !
Kannst jederzeit neue Fragen auf GF stellen, allerdings musst du den Leuten mitteilen, was dein Problem bei der jeweiligen Aufgabe ist, denn Gedankenlesen kann keiner ;-))
N(t) ist die Funktion mit Unbekanntem t = Zeit; du kannst auch alpha(t) und beta(t) schreiben.
Die Gleichung bei solchen Aufgaben sind
=Anfangswert âą (1 + %/100)^t
also bei Alpha dann
= 300 âą (1 + 60/100)^t
= 300 âą 1,6^t
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beim gleichsetzen musst du dann die Sachen mit t auf eine Seite bringen, sonst kannst du das t nicht berechnen;
von 1,6^t / 1,2^t kommst du auf (1,6 / 1,2)^t durch ein Potenzgesetz;
a^n / b^n = (a/b)^n
1,6/1,2 wird dann zu 16/12 und mit kĂŒrzen zu 4/3
t âą lg(4/3) bekommst du durch Logarithmieren der Gleichung und einem Log-Gesetz;
lg ( (4/3)^t ) = t âą lg(4/3)
der Rest ist Gleichungsumstellung.
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b) 100mÂČ = 1 000 000 cmÂČ ; weil 1mÂČ = 10 000 cmÂČ
t-Wert durch probieren rauskriegen ; t = 17,2 Tage
dann einsetzen in alpha ergibt 972 714 cmÂČ
jetzt kommt Dreisatz
1 000 000 cmÂČ = 100%
972 714 cmÂČ = 100 âą 972 714 / 1 000 000 = 97,27 also ca 98% (alpha)
â 972 714
Vielen Dank fĂŒr deine Zeit ich habs verstanden haha đ
Aber ich hab doch noch kurz eine frage undzwar kannst du mir nochmal die Rechnung fĂŒr b aufschreiben wie man jzt genau das t herausgefunden hat das verstehe ich noch nicht ganz genau
Ich mein bei Aufgabe b haha also da steht ja durch probieren muss man t berechnen und bei meinem bild sind ja taschenrechnerwerte abgebildet. Aber wie kommt man dann auf 17,2? Also da steht ja bei taschenrechnerwerten dann das ergebnis bei 17,2 halt 991122 aber warum ausgerechnet das und nicht zb 5136?
du suchst ja einen Wert, der möglichst nahe an 1 000 000 cmÂČ rankommt; und das ist ja nicht gerade die 5136 .
rechts steht die Rechnung fĂŒr das Gleichsetzen; was verstehst du genau nicht? Konkrete Fragen werden hier immer hilfreich beantwortet.
Ich habe im anderen Kommentar prÀzise erklÀrt was genau ich daran nicht verstehe. Danke im voraus
Ich verstehe nicht wie man von so einer textaufgabe auf die beiden Funktionen kommt und ich weiĂ auch nicht was dieses N zu bedeuten hat
Dann versteh ich nicht bei der Aufgabe a die Rechnung als man die beiden Funktionen gleichgestellt hat und aufeinmal in einen bruch kommt und ich versteh bei der gleichen Rechnung nicht was das t mal log 4/3 zu bedeuten hat also wir man darauf kommt.
Bei Aufgabe b verstehe ich die taschenrechnerwerte nicht was die Aussagen und wie man darauf kommst und wie man am Ende auf ein Ergebnis kommt also warum man ausgerechnet das nimmt