Exponentialfunktion waagerechte Tangente kapier ich nicht?
hallo es geht um die Aufgabe 1.3
ich verstehe wieso man bei der Ableitung auf -0.125 kommt, allerdings nicht warum die Tangente es auch ist...bitte um eine einfach Verständliche Erklärung
Vielen Dank
4 Antworten
Hallo,
die Ableitung der Funktion bei x= -2 ist -0,5e.
Wie kommst Du auf -0,125?
Tangente und Funktionsgraph haben am Berührpunkt die gleiche Steigung -sonst wäre die Tangente keine Tangente.
Du bildest also f'x), setzt x=-2 ein und nimmst das Ergebnis als m in der allgemeinen Geradengleichung y=mx+b.
Außerdem mußt Du f(-2) berechnen, um den Berührpunkt herauszufinden.
Wenn Du -2 für x in die Geradengleichung einsetzt, muß für y f(-2), also der Funktionswert des Graphen der Exponentialfunktion bei x=-2 herauskommen.
f(-2)=e.
Die Geradengleichung lautet also e=f'(-2)*(-2)+b
f'(-2) einsetzen und nach b auflösen.
Um f'(x) zu berechnen, benutzt Du die Produkt- und die Kettenregel.
Herzliche Grüße,
Willy
Also ich hoffe, dass du das Ableiten von der Theorie her selbst schaffst....sonst sag Bescheid....
Ich beantworte mal die Frage betreffend: Welchen Punkt finde ich wie?
Punkt mit waagerechter Tangente/Terrassenpunkt
Die erste Ableitung gibt dir immer die Steigung an. Wenn du einen Punkt mit waagerechter Tangente willst, bedeutet dies, dass dort die Steigung=0 ist, also soll auch f‘=0 sein.
also f‘ = 0 = -0,125x^2 • e^(-0,5x)
damit diese Gleichung 0 ergibt, muss entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor auf 0 gesetzt werden. Der erste Faktor ergibt 0, wenn wir für x eine 0 einsetzen. Der zweite Faktor ergibt niemals 0 egal was wir für x einsetzen.
Also Fazit: Wenn x=0, dann ist Steigung 0.
Und was ist denn die dazugehörige y-Koordinate?
Um das herauszufinden setzen wir unser bereits bekanntes x=0 in die normale Funktionsgleichung f ein.
Also f ist ja in Aufgabe 1 vorgegeben:
y= (0,25x^2 + x +2) • e^(-0,5x)
Nun setzen wir wie gesagt alle x auf 0 und erhalten:
y= (0+0+2) • 1 = 2 (P.S. e hoch 0 ergibt 1)
Nun haben wir auch die y-Koordinate!
Also ist unser Terrassenpunkt bei (0/2)!
Wendepunkt herausfinden
Um Wendepunkte zu finden, musst du die zweite Ableitung f‘‘ auf 0 setzen.
Also f‘‘ = 0 = x • (0,0625x - 0,25)
Jetzt wieder das gleiche Spiel mit den Faktoren. Um den ersten Faktor auf 0 zu kriegen, müssen wir für x logischerweise 0 einsetzen. Beim zweiten Faktor wirds etwas komplizierter 0,0625x-0,25 soll 0 geben. Diese Gleichung kannst du einfach auflösen und du erhältst x=4.
Fazit: Für x=0 und für x=4 ergibt f“ 0, d.h. an diesen beiden Punkten ist ein Wendepunkt.
Die dazugehörigen y-Koordinaten findest du wieder heraus, indem du die x einzeln in die normale Funktionsgleichung f einsetzt.
-> Hoffe das hilft :)
Sollte man nicht noch f''' oder den Vorzeichenwechsel von f'' prüfen?
Ja, um sicherzugehen, dass es ein Terrassenpunkt (=Sattelpunkt) ist und nicht ein Extrempunkt, wäre es eine Möglichkeit
Aber wenn die erste und die zweite Ableitung 0 ergeben, dann weisst du, dass die Tangente horizontal ist und dass es ein Wendepunkt ist -> Sattelpunkt.....diese Rechenart bevorzuge ich jeweils :)
Aber ein berechtigter Einwand, danke :)
f(x)=(1/4*x²+x+2)*e^(-0,5*x) Ableitung nach der Produktregel
(u*v)´=u´*v+u*v´
u=1/4*x²+x+2 abgeleitet u´=du/dx=1/2*x+1
v=e^(-0,5*x) abgeleitet v´=dv/dx=-0,5*e^(-0,5*x) nach der kettenregel
f´(x)=z´*f´(z) Substitution (ersetzen) z=-0,5*x z´=-0,5
eingesetzt in (u*v)´=...
f´(x)=-0,125*x²*e^(-0,5*x)
mit P(-2/-2) ergibt xo=-2 die ist der Punkt,wo die Tangente die Funktion f(x)=... berühren soll.
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialgeometrie
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
f(xo)=(1/4*(-2)²+(-2)+2)*e^(-0,5*-2)=
f(xo)=e¹=e
f´(xo)=-0,125*(-2)²*e^(-0,5*-2)=
f´(-2)=-0,5*e¹
eingesetzt
ft(x)=-0,5*e*(x-(-2))+e=-0,5*e*x-1*e+e
ft(x)=e*(-0,5*x-1+1)
ft(x)=-0,5*x*e
mal ganz einfach :
-0.125 = 1/8 = 1/4 * -1/2
sie stammt aus dem Produkt von
1/4 ( vor dem x^2 ) und der -0.5 im Exponenten der e-Funktion.