Also ich hoffe, dass du das Ableiten von der Theorie her selbst schaffst....sonst sag Bescheid....
Ich beantworte mal die Frage betreffend: Welchen Punkt finde ich wie?
Punkt mit waagerechter Tangente/Terrassenpunkt
Die erste Ableitung gibt dir immer die Steigung an. Wenn du einen Punkt mit waagerechter Tangente willst, bedeutet dies, dass dort die Steigung=0 ist, also soll auch f‘=0 sein.
also f‘ = 0 = -0,125x^2 • e^(-0,5x)
damit diese Gleichung 0 ergibt, muss entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor auf 0 gesetzt werden. Der erste Faktor ergibt 0, wenn wir für x eine 0 einsetzen. Der zweite Faktor ergibt niemals 0 egal was wir für x einsetzen.
Also Fazit: Wenn x=0, dann ist Steigung 0.
Und was ist denn die dazugehörige y-Koordinate?
Um das herauszufinden setzen wir unser bereits bekanntes x=0 in die normale Funktionsgleichung f ein.
Also f ist ja in Aufgabe 1 vorgegeben:
y= (0,25x^2 + x +2) • e^(-0,5x)
Nun setzen wir wie gesagt alle x auf 0 und erhalten:
y= (0+0+2) • 1 = 2 (P.S. e hoch 0 ergibt 1)
Nun haben wir auch die y-Koordinate!
Also ist unser Terrassenpunkt bei (0/2)!
Wendepunkt herausfinden
Um Wendepunkte zu finden, musst du die zweite Ableitung f‘‘ auf 0 setzen.
Also f‘‘ = 0 = x • (0,0625x - 0,25)
Jetzt wieder das gleiche Spiel mit den Faktoren. Um den ersten Faktor auf 0 zu kriegen, müssen wir für x logischerweise 0 einsetzen. Beim zweiten Faktor wirds etwas komplizierter 0,0625x-0,25 soll 0 geben. Diese Gleichung kannst du einfach auflösen und du erhältst x=4.
Fazit: Für x=0 und für x=4 ergibt f“ 0, d.h. an diesen beiden Punkten ist ein Wendepunkt.
Die dazugehörigen y-Koordinaten findest du wieder heraus, indem du die x einzeln in die normale Funktionsgleichung f einsetzt.
-> Hoffe das hilft :)