Reichstagskuppel Oberfläche errechnen (Mathe)?
Hey, Ich muss die Oberfläche der Reichstagskuppel von Norman Foster ausrechnen, leider ist diese Kuppel keine einfache Halbkugel. Hat irgendjemand einen Ansatz, wie man anfangen könnte?
5 Antworten
Das kommt wohl einer Parabel nahe. Wenn ich es richtig aus dem Text abgeschrieben habe, liegen die Nullstellen bei 19 und -19, der Scheitelpunkt in der Höhe 23,5 m.
y = ax² +bc + c
Da die Parabel nach unten geöffnet und spiegelbildlich zur y-Achse ist, muss a negativ werden und c = 23,5
Daher y = ax² + 23,5
Mit NS = 19 ist das 361a + 23,5 = 0
a = -0,065097
Die Parabel: y = -0,065097 x² + 23,5
Die 6 Dezimalen bringen exakt ±19 für die Nullstellen, sonst wäre es ein bisschen ungenau.
Der Oberfläche ist es egal, ob ich sie um x oder um y rotieren lasse. Zwischen -19 und +19 ist auch keine Nullstelle, um Flächen zu "verschlucken".
19
O = 2 π ∫ (-0,065097 x² + 23 x) dx = 3750,59 m²
-19
Das korrespondiert mit den 3000 m² Glas aus dem Text. Es sind ja auch noch Streben dazwischen.
Gut mitgedacht. Glücklicherweise habe ich es nur von meinem Zettel falsch abgeschrieben, wo ich es gerechnet hatte. Es muss so heißen (unbestimmtes Integral):
O = 2 π ∫ (-0,065097 x² + 23,5) dx = -0,02699 x³ + 23,5 x + C
Du siehst, ich habe da was überschlagen. Das nächste ist dann des bestimmte Integral von -19 bis +19.
Danke erstmal für die schnelle Antwort :) aber muss man nicht noch den Winkel einfließen lassen, weil die Kuppel im späteren Verlauf nach oben stärker nach rechts gekrümmt ist als unten. Wie berücksichtigt man das oder kann das vernachlässigt werden?
Wenn man das tun müsste, wäre es ganz schwierig, weil es bei einer Parabel keinen Winkel gibt, nur lauter verschiedene Tangentensteigungen. Das ist der Grund, weshalb man für eine Fläche unter der Kurve integriert. Rechnet man ein Volumen aus, so quadriert man das Integral und multipliziert es mit π, dann hat man praktisch unendlich viele Scheiben
(π r²) aufeinandergelegt, und es kommt das Volumen heraus.
Ich bin bei der Oberfläche mal einfach genau so vorgegangen und habe mit 2π multipliziert (dann hätte ich ja die Summe aller Umfänge), bin mir jetzt aber nicht mehr hundertprozentig sicher, dass man wirklich integrieren muss.
Dass mein Ergebnis fast bei den 3000 m² des Textes lag, hat zu nachtschlafener Zeit dann eine gewisse Plausibilität erzeugt, die aber auch Zufall sein kann, zumal du ja wohl auch noch gar nicht integriert hast bis jetzt. Oder?
Ich werde es gleich nochmal prüfen.
Tatsächlich hat ein Blick in die Formelsammlungen meiner emphatischen Erstannahme widersprochen. Die Formel für einen Mantel (und mehr ist es ja nicht) ist
M = 2 π ∫ y * √(1 + (y')²) dx in den bekannten Grenzen.
y = - 0,065097 x² + 23,5 wie bekannt
Ich habe es durchgerechnet und als Ergebnis 5369,76 m² erhalten, also zuviel, wenn man den Text als Maßstab nimmt.
Es ist eine wilde Rechnerei. Vielleicht kommt ja noch eine weitere Antwort. Sonst müsstest du die beiden Lösungen als Varianten in eine Diskussion darüber einbringen, die ja sicher beim Durchsprechen des Problems entstehen wird.
Beim Rechnen habe ich mir von Wolfram helfen lassen.
Hättest du ne Idee wo man eine fertige Funktion finden könnte oder wie man die mit Tangentengleichung aufstellen könnte, weil ich bisher nur weiß, wie man Tangetengleichungen aufstellt, wenn man schon eine Funktion hat.
Eine Tangente ist leicht zu finden, wenn man ableiten kann:
f(x) = x² + 2x + 2 Gesucht: Tangente t bei x = 2
Der y-Wert ist aus f(x): y = 10
Also: T(2|10) muss auch auf t sein
Ableitung f '(x) = 2x + 2 also an der Stelle 2
f '(2) = 6
Das ist die Steigung der Tangente: m = 6
Die Gleichung einer Geraden ist: y = mx + b
Da die Tangente durch T gehen soll, ist also:
10 = 6 * 2 + b
b = -2
Gleichung der Tangente: y = 6x - 2
Du bekommst in jedem Punkt der Kurve eine andere Tangente.
Ja genau soweit versteh ich das auch, aber wie legt man jetzt eine Tangente an den Reichstag an, geschweige denn woher soll man für den eine Funktion bekommen die die Steigung berücksichtigt?
Na, genauso.
Die Funktion heißt f(x) = - 0,065097 x² + 23,5
1. Ableitung f '(x) = - 0,130194 x
Willst du eine Tangente bei x = 2 haben, ist m = - 0,130194 * 2
Das dazu gehörige y ist y = - 0,065097 * 2² + 23,5
Rest wie oben. Ein Taschenrechner hilft bei den vielen Dezimalen, um das b herauszubekommen.
Die Gleichung der Tangente ist immer y = mx + b
19
O = 2 π ∫ (-0,065097 x² + 23 x) dx = 3750,59 m² -19
Bei der Berechnung erhalte ich als Ergebnis 7481,18 hab ich irgendwas falsch gemacht?
Die Funktion heißt: - 0,065097 x² + 23,5
Da hatte ich mich weiter oben auch mal vertippt. Es war aber kepfle aufgefallen. Außerdem könntest du erneut mit 2 multipliziert haben, obwohl das schon drinsteckt. Der Umfang ist ja 2 π r und nicht
2 * 2π r.
Siehe im Mathe-Formelbuch nach im Kapitel "Mantelflächen von Rotationskörpern ( Komplanation )
HINWEIS : Ohne eine Angabe der Funktion für die Kuppel,ist mathematisch nichts zu machen !
So ein Mathe-Formelbuch musst du dir privat aus einen Buchladen besorgen,z. Bsp. den "Kuchling".
Sieht für mich aus wie eine Parabel die um die y-Achse rotiert. Hierfür gibst eine Formel allerdings müss man hierfür das Integral bilden (also aufleiten) weis nicht ob ihr das schon gemacht habt.
Du musst die Form schon rausfinden, sonst wird's schwierig. Vielleicht geht es als Oberfläche eines Rotationskörpers.
Es ist also keine einfache Halbkugel. Was dann?
https://de.wikipedia.org/wiki/Reichstagsgeb%C3%A4ude#Kuppel
"verkleidet mit 3000 m² Glas"
Ich nehm einfach mal an dass das stimmt, weil das im Studium iwi noch nich dran kam, aber warum wird im Integral die Konstante (23.5) plötzlich durch 23x ersetzt?