Rechteck im Kreis?

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5 Antworten

Wenn man keine Plausibilitätserwägungen machen will, kann man es ja auch mit Hilfe der Ableitung nachweisen, dass es ein Quadrat sein muss. Wer mindestens zehn solcher Aufgaben gelöst hat, weiß es ohnehin. (Aber Erfahrung ist kein Beweisverfahren.)

Für alle,die es nachrechnen wollen, gebe ich die Stationen der Rechnung bekannt. Alles abzutippen, ist jetzt ein bisschen viel.

Ich setze den Kreis so in die kartesischen Koordinten, dass der Mittelpunkt im Ursprung ist. Ich lege ein Rechteck so in diesen Kreis, dass y seine Symmetrieachse ist. An irgendeiner Stelle x wird eine Senkrechte mit Länge b errichtet. Dann gilt nach Pythagoras

b = (r² - x²) ^ (1/2)

Die Fläche des Rechtecks ist

A = x * b
A = x (r² - x²) ^ (1/2)

Damit habe ich eine ableitbare Funktion. Ableiten mit Produktionsregel, aber Achtung!
v ist nach der Kettenregel abzuleiten! Das ergibt

A' = (-2x² + r²) / (r² - x²) ^ (1/2)

Der Nenner kann nicht Null werden, sonst ist kein Rechteck mehr da. Daher setze ich

-2x² + r² = 0 x = r / √2

In b eingesetzt

b = r / √2

Das ist ersichtlich identisch, daher ist die Lösung das Quadrat mit Seitenlänge

a = 2r / √2

-2x² + r² = 0 x = r / √2

Das sind 2 Zeilen

-2x² + r² = 0
x = r / √2

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@Volens

Für das Verhältnis musst du dann noch ein weinig weiter rechnen.

a = 2r / √2 ....| / r
a / r = 2 / √2

Also in Schreibweise von Verhältnissen entweder / oder

a : r = 2 : √2
r : a = √2 : 2

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@Volens

Noch eins:
Wenn man dies mit der Diagonalen eines normalen Quadrats vergleicht, ergibt sich eine Abweichung, die daran liegt, dass mein Gesamtquadrat natürlich die Seitenlänge 2a hat, weil ich den Beweis für den Viertelkreis geführt habe.

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Der Durchschnitt des Kreises muss automatisch der Querschnitt des Rechtecks sein also mit dem Satz des Pythagoras: Durchmesse des Kreises^2=Länge des Rechtecks^2+ Höhe des Rechtecks^2

ja natürlich , klar. Danke! ;)

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das trifft nur zu, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

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Dies trifft nur für ein einziges spezielles Rechtek zu, dessen Diagonale der Durchmesser ist! Für ein beliebiges Rechteck kann man diese Aufgabe nicht lösen!

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@UlrichNagel

Wenn alle vier Eckpunkte des Rechtecks auf dem Kreis liegen, dann sind der Mittelpunkt des Rechtecks und der Mittelpunkt des Kreises identisch. Und dann verlaufen die Diagonalen des Rechtecks durch den Mittelpunkt des Kreises. Damit ist eine Diagonale auch gerade genau so lang wie der Durchmesser des Kreises.

Das heißt: für jedes Rechteck, dessen vier Punkte auf einem Kreis liegen, hat die Diagonale dieselbe Länge wie der Durchmesser. Für die beiden Rechteckseiten a und b gilt also

Durchmesser² = a² + b²

Diese Bedingung ist für beliebig viele Paare a, b erfüllt - es gibt also unendlich viele Rechtecke dieser Art.

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@FataMorgana2010

Ach stimmt ja, bei jedem eingeschriebenen Rechteck ist die Rechteckdiagonale der Durchmesser. Meine Skizze habe ich zu schnell durchdacht!

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du kannst unendlich viele Rechtecke in einen Kreis zeichnen. Zur Lösung der Aufgabe fehlt eine weitere Bedingung... Sollte es darum gehen, dass das Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt hat, dann hast du Haupt- und Nebenbedingung. Das Ergebnis wird dann ein Quadrat sein.

Du hast recht, dass man unendlich viele Rechtecke in einen Kreis zeichnen kann, aber in der Frage hier steht, dass alle Eckpunkte den Kreis berühren. Also wird es wohl nur ein Rechteck geben, welches die Bedingungen erfüllt.

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kommt darauf an, wo das recht eck liegt, aber normalerweise Durchmesser durch Pie mal abstand zum Mittelpunkt

"Durchmesser durch Pie mal abstand zum Mittelpunkt" =

d π / r =

(der Abstand zum Mittelpunkt schimpft sich Radius)

2 r π / r =

2 π....

wohl kaum.

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