Definitionsbereich einer Funktion bestimmen - Extremwertaufgaben
Hallo,
ich schreibe am Freitag (am letzten Schultag vor den Ferien :/) eine Mathe-Klausr. Wir behandeln das Thema Extremwertaufgaben. Ich hab jetzt eine ganz einfache als Beispiel herangezogen, bei der es darum ging, die Seitenlänge zu ermittlen, bei der der Flächeninhalt eines Rechteckes maximal wird. Der Umfang war gegeben: 8 cm.
Nun habe ich berechnet, dass a = 2 ist, was bedeutet, dass meine Lösung,
''...ist dann am größten, wenn die Seitenlänge 2 cm beträgt.''
Das Problem ist, dass wir auch den Definitionsbereich angeben müssen, da wir immer überprüfen sollen, ob nicht vielleicht ein größeres Maximum durch die Untersuchung des Randverhaltens rauskommt.
Jetzt meine Frage: Wie bestimme ich den Definitionsbreich? Ich weiß zwar, dass der in diesem Falle nicht kleiner/gleich 0 sein kann, da die Seitenlänge ja nicht 0 sein kann, aber auch nicht größer/gleich 8, da die andere Seite duch die Seitenlänge 8 der anderen 0 werden würde. In diesem Falle ist das ganz einfach, aber was ist, wenn iwr richtig schwierige Aufgaben bekommen? Da finde ich das dann nicht mehr so leicht. Kann mir jemand vielleicht Tipps und Ratschläge - vielleicht sogar Vorgehensweisen - nenne? Danke.
3 Antworten
Wenn es darum geht, geometrische Figuren zu optimieren, ist die Genze eines Definitionsbereichs der (geometrisch) entartete Fall. Er ist daran zu erkennen, das von eine mehrdimensionalen Objekt Dimension 0 wird und verloren geht.
Bei einem zweidimensionalen Objekt mit Länge und Breite ist dann Länge oder Breite 0. Ein entartetes Rechteck oder Dreieck ist eine Strecke, ein entarteter Kreis (hat den Radius 0 und) ist ein Punkt.
In deiner Aufgabe könnte die zu optimierendende Zielfunktion die Form
A(a) = a (8-2a)/2 = a(4 -a)
haben. Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei a_s = 2 (dem gefundenen Maximum), wobei z.B. a die Länge, (8 -2a)/2 die Breite des Rechtecks ist.
Die beiden entarteten Fälle sind ein Rechteck mit Länge (a=) 0 und eines mit Breite (8 -2a =) 0, also Länge a = 4. Also ist eine sinnvoller Definitionsbereich:
A(a) = a(4 -a), wobei 0 < a < 4.
Weitere Überlegung zur Absicherung: Du überlegst, bei welchen Werten ihrer Variable die Zielfunktion das Vorzeichen wechselt. Meist sind negative Werte bei solchen Aufgabe nicht sinnvoll und daher Nullstellen der Zielfunktion sinnvolle Grenzen des Definitionsbereich und in diesem nicht enthalten (also 0 < a < 4 und nicht 0 ≤ a ≤ 4). Wie in deinem Beispiel entsprechen sie häufig je einem geometrisch entarteten Fall.
Ich weiß zwar, dass der in diesem Falle nicht kleiner/gleich 0 sein kann, da die Seitenlänge ja nicht 0 sein kann, aber auch nicht größer/gleich 8, da die andere Seite duch die Seitenlänge 8 der anderen 0 werden würde.
Ist doch völlig richtig.
In diesem Falle ist das ganz einfach,
Eine Reihe Schüler hätten bereits damit Schwierigkeiten.
aber was ist, wenn iwr richtig schwierige Aufgaben bekommen?
Viel schwieriger wird's in Klassenarbeiten nicht werden. Ansonsten: es gibt einfache keine Regel dafür. Oder höchstens die, die du schon verwendet hast: Man muss sich halt überlegen, was die sinnvollen Werte sind.
dann mach dich mal nicht verrückt; viel schwerer wirds sicher nicht mit Definitionsbereich bei Extremwertaufgaben.