Rechenaufgabe unbekannte?
Wer kennt die Lösung?
5 Antworten
√(x² + y² + 1) = 23
Wenn das gälte, dann wäre x+y=22.
DA beide aber fast beliebig aus IR sind, kann ich viele Paare x,y wählen, die dies nicht erfüllen.
Du musst dich irren.
(1) in (2) führt zu:
(x² – 23x)² = x + 23 * (x² – 23x) = 0
x * (x³ – 46x² + 506x + 528 = 0
x * (x – 24) * (x² – 22x – 22) = 0
x = 0 entfällt wegen x ≠ y
x = 24 entfällt wegen x ≠ y
x = 11 +-√(11² + 22)
x = 11 +- √143
für x < y gilt:
x = 11 - √143 = -0,95826...
y = 11 + √143 = 22,95826...
für x > y gilt:
x = 11 + √143 = 22,95826...
y = 11 - √143 = -0,95826...
Ja, o.k. und meine oben beschriebene Argumentation war natürlich unlogisch.
Aber meine Frage: Hast du die 23 gesehen oder nur durch die Lösung der Gleichungen mittels Polynomdivision gefunden.
Mir fiel auf, dass deine Lösung so schnell kam und die 23 steckt ja in den Gleichungen so augenfällig drin. Ich hatte erwartet, dass du beim Blick auf die beiden Gleichungen mittels einer mir verborgenen Logik das direkt erkannt hast.
Ich bin durch Rechnung auf die Lösung gekommen, wobei die 24 sich als mögliche Lösung für x und y bei Addition der ersten beiden Gleichungen aufgedrängt hat. Wegen x = y musste dieser Wert ausgeschlossen werden, konnte aber als Linearfaktor für die weitere Berechnung genutzt werden.
Ja, das ist schon klar wie du es gemacht hast. Mir hat sich die 24 nicht aufgedrängt deshalb habe ich an dieser Stelle aufgegeben.
Ich hatte die Hoffnung, dass da noch ein superkluger Gedankenkniff dahinter steht, mit dem du die Lösung 23 direkt aus den beiden Gleichungen ableiten konntest.
Schließlich lautet die Aufgabe nicht: ermittle die Lösungen für x und y, sondern was ist SQRT( x^2+y^2 +1)?
Und die Gleichungen stellen ja genau diese x^2 und y^2 dar. Ich hatte die Hoffnung, dass durch Addition dieser beiden Terme die Lösung sofort sich ergibt. Aber ich habe nicht gefunden. ...und dann kommst du auch noch mir 23 als Lösung. Die steckt ja in beiden drin. Ich hoffte du hattest den Geistesblitz, der sich bei mir nicht eingestellt hat.
Das sind zwei Parabeln (eine ist um 90⁰ gedreht), die sich in vier Punkten schneiden. Rechnerisch muss man dafür eine Gleichung vierten Grades lösen. Die Lösung (x, y)=(0, 0) sieht man sofort, die Lösung (24, 24) muss man erraten. Übrig bleibt eine quadratische Gleichung, aus der man die beiden restlichen Lösungen bestimmen kann.
Diese Raterei ist nicht jedermanns Sache und funktioniert hier nur, weil die zweite Lösung netterweise ganzzahlig ist. Außerdem sind ja gar nicht die genauen Lösungen (x, y) gesucht, sondern „nur“ der Ausdruck x²+y².
Wenn man die Symmetrie zur Diagonalen y=x nutzt, geht es einfacher (das ist in etwa das gleiche Verfahren wie beim Schneiden von zwei Kugeln im ℝ³):
Mit der Substitution x=u+v und y=u–v landet man bei
(1) u²+2uv+v² = 24u+22v
(2) u² –2uv+v² = 24u –22v
(3) v≠0
(4) √(2u²+2v²+1)=?
(1) –(2) liefert wegen (3): u=11
(1)+(2) liefert: 2u²+2v²=48u
Das kann man direkt in (4) einsetzen: √(48·11+1)=23.
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Übrigens kann man diesen Lösungsweg problemlos von a=23 auf beliebige a erweitern und kommt mit u=(a–1)/2 und 2u²+2v²=2(a+1)u auf √[(a+1)(a–1)+1]=|a| (für a≠1).
Ohne Substitution müsste man die (möglicherweise irrationale) Lösung (a+1, a+1) erraten und eventuell mit komplexen Zahlen rechnen.
Hallo,
x=-0,9582607431 und y=22,95826074 oder umgekehrt.
Die Lösung ist 23.
Herzliche Grüße,
Willy
Du musst eine Variable weg kriegen also setzt du z.B in die erste Gleichung für y was anderes ein. Dafür nimmst du dir die zweite Gleichung und erkennst da steht y^2=... Also kannst du hier die Wurzel auf beiden Seiten ziehen damit da dann y=Wurzel(x+23y) und diese Wurzel(x+23y) kannst du jetzt in die erste Gleichung statt des y einsetzen.
Jetzt hast du eine Gleichung nur mit der Variablen x und kannst das x dann auf eine Seite bringen. Sollte soweit klar sein.
Dann hast du x raus, kannst es in eine der Gleichungen einsetzten und y auf eine Seite bringen und ausrechen.
Kann sein dass du irgendwo mehrere Ergebnisse rauskriegst dann musst du die interpretieren und schauen welche davon am ende in der Gleichung das richtige Ergebnis hervoruft.
Das ist leider falsch. Denn in deiner Wurzel steht ja immer noch y. Somit hast du y gar nicht eliminiert.
= √(24x+24y+1)
Hilf mir mal. Ich sehe das nicht.