Radioaktiver Zerfall Aufgabe?
Anfängliche m =200g, es gilt für m der noch nicht zerfallenen Substanz m(t) =200e^kt ( m in gramm und t in Stunden)
Wie berechne ich die Zufallskonstante k, wenn Halbwertszeit 6 Stunden sind?
Meine Lösung : k= ln 0,5 / 6 = - 0,155
Stimmt das?
Aufgabe c und d auf dem Blatt verstehe ich absolut nicht...
Danke für Tipps!!!
2 Antworten
Hallo,
wenn Du k doch schon ausgerechnet hast, dann hast Du doch den Zerfallsfaktor, der für eine Stunde gilt, nämlich e^k.
m*e^k ist die Masse, die nach einer Stunde noch vorhanden ist.
m*e^(kt) ist die Masse, die nach t Stunden vorhanden ist.
Da k=ln (0,5)/6 und m=200 g, lautet die von t abhängige Funktionsgleichung für die Restmasse nach t Stunden f(t)=200*e^(t*ln (0,5)/6).
Herzliche Grüße,
Willy
e^ln(x)=x, das ist klar.
Hier aber hast Du e^(ln (0,5)/6).
Die 6 gehört nicht zum ln, wird also von der e-Funktion nicht aufgehoben.
Du kannst auch e^k durch den Zerfallsfaktor q ersetzen und bekommst dann die Gleichung f(t)=200*q^t mit q=e^k=e^(ln (0,5)/6)=0,8908987181.
Du kommst ebenfalls auf q, wenn Du die 6. Wurzel aus 0,5 ziehst.
Nichts anderes tust Du über den ln, wenn Du ihn durch 6 teilst.
Das ist aber nicht das gleiche wie e^(0,5/6) habe ich das richtig verstanden?
Oder Du hast meine Antwort nicht sorgfältig genug gelesen.
Habe deine Antwort eigentlich sorgfältig durchgelesen aber trotzdem nicht alles ganz verstanden
Beim radioaktiven Zerfall bleibt nach einer Zeiteinheit x % von der ursprünglichen Masse übrig. Dieser Prozentsatz, der nach einer Zeiteinheit übrig bleibt, ist der hundertfache Zerfallsfaktor.
Hast Du etwa etwas, von dem nach einer Stunde (t=1) noch 80 % übrig sind, hast Du einen Zerfallsfaktor von 80/ 100=0,8.
Nach zwei Zeiteinheiten wären es 0,8^2, nach t Zeiteinheiten 0,8^t als Zerfallsfaktor. Nennst Du diesen Faktor q, hast Du einen Zerfall in t Zeiteinheiten von q^t. Wenn Du die ursprüngliche Masse mit q^t multiplizierst, bekommst Du die Restmasse nach t Zeiteinheiten.
Die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Masse da ist, nennt man Halbwertzeit.
Oft ist die Halbwertzeit bei solchen Aufgaben angegeben. Es geht dann darum, aus dieser Halbwertzeit den Zerfall nach einer Zeiteinheit zu berechnen, um danach den Zerfall für beliebige Zeiteinheiten berechnen zu können.
Das kannst Du dann entweder mit Hilfe des Logarithmus machen oder mit der Ziehung einer Wurzel.
In Deinem Fall ist die Halbwertzeit 6 Stunden. Nach 6 Stunden sind nur noch 50 % da.Wieviel ist nach einer Stunde noch vorhanden?
Setze die Ursprungsmasse auf 1, dann hast Du die Gleichung 1*q^6=0,5, was direkt zur Lösung q=6. Wurzel (0,5) führt.
Du kannst aber auch den Logarithmus bemühen; meist nimmt man den natürlichen ln.
1*e^(6k)=0,5 ist der Ansatz.
Beide Seiten logarithmieren:
6k=ln (0,5)
k=ln (0,5)/6.
Nun kannst Du in die Gleichung f(t)=m*e^(kt), da k nun bekannt ist, direkt ein beliebiges t einsetzen, um die Restmasse nach t Stunden zu erhalten.
Den Umweg über den Logarithmus braucht man eigentlich nicht mehr zu machen, seitdem es Rechner gibt, die jede beliebige Wurzel ziehen können.
Der Logarithmus hat den Vorteil, daß er auch ohne Rechner mit Logarithmentafeln oder mit einem Rechenschieber funktioniert (wenn mal irgendwann Rechner gehamstert werden - man weiß ja nie).
Danke, hab es jetzt verstanden wusste vorher schon wie man mit Radioaktiven Zerfall umgeht aber eher chemisch als mathematisch daher hat mich der ln verwirrt aber jetzt ist alles klar
Alle diese Prozesse, egal ob Zerfall mittels Halbwertszeit oder Steigung mittels Zinseszins, berechnen sich nach dem gleichen Modell.
Die Zinseszinsformel ist:
K1 = K0*1(1+(x/100)^t
Wir tragen deine Werte ein:
200 = 100*1(x/100)^6
Und stellen nach X um. Eine normale Gleichung.
Für X erhalten wir einen Wert der knapp über -11 liegt. Den genauen Wert darfst du selbst berechnen.
Noch Fragen?
LG
Dank dir für deine Antwort, was ich nicht verstanden habe ist wie e ^x und ln zusammenkommen können dachte die heben sich gegenseitig auf oder geht das hier nur wegen dem Parameter t als Vorfaktor?