Punktsymmetrie wird wie definiert und warum so?
Ich will nicht nur Formeln auswendig lernen, sondern auch verstehen, sonst komme ich nicht weit. Ich verstehe nicht wie diese Formeln aufgestellt wurden.
f(x0+x) ist also vom punkt x0, der genau in der Symmetriemitte liegt, sagt der Funktionswert geht von da nach rechts, soweit ich verstanden habe und -f(x0-x)+2y0
geht von der Symmetriemitte nach links und in den negativen Bereich der Y-Achse.
Von wo kommen die +2? warum heißt das nicht f(x0+x)+1y0 und -f(x0-x1)-1y0
wir gehen ja von der mitte nach rechts und hoch und von der mitte nach links und runter. Wo habe ich 'nen Denkfehler?
3 Antworten
Didaktisch geschickter wäre es, mit der Symmetrie anzufangen:
x1 = x0 + x
einerseits y1 = f(x1) = f(x0 + x)
andererseits y1 = y0 + y
x2 = x0 - x
einerseits y2 = f(x2) = f(x0 - x)
andererseits y2 = y0 - y
damit
x = x1 - x0 = x0 - x2
y = y1 - y0 = y0 - y2
Die gegebene Gleichung ist gleichbedeutend mit
y1 = 2 y0 - y2
was sich ergibt, indem man
y1 - y0 = y0 - y2
nach y1 auflöst.
Ich kenne die Formel etwas umgestellt:
f(x0+x)-y0= -f(x0-x)+y0
x0 und y0 sind die Koordinaten deines Symmetriepunkts.
Bei der Urspungssymetrie hast du
f(x)=-f(-x)
Wenn du die Figur um 180° routierst (vom Ursprung aus) kommt die gleiche Figur raus.
Wenn du das ganze auf der y-Achse um 1 verschiebst reicht die Formel dann nicht mehr.
Soll es um (0|1) punktsymmetrisch sein hast du
f(x)-1=-f(-x)+1
Effektiv verschiebst du die Funktion "in Richtung des Ursprungs zurück"
Wenn du den Punkt (2|1) hast, musst du den x-Wert auf die selbe Art berücksichtigen.
demnach:
f(2+x)-1=-f(2-x)+1
oder allgemein:
f(x0+x)-y0=-f(x0-x)+y0
Mit +y0 kommt man dann auf deine Form, die ich etwas unhantlicher finde:
f(x0+x)=2*y0-f(x0-x)
Angaben sind über limitierte Mathe-Kenntnisse entstanden, wenn es jemand besser weiß gerne korrigieren. Für das Merken sollte das reichen
Meine Empfehlung um das zu verstehen ist, dass du dir das mal in ein Koordinatensystem einzeichnest. Wähle einen (einfachen) Symmetriepunkt und konstruiere aus den Angaben mit Hilfe einer Wertetabelle eine punktsymmetrische Funktion zu diesem Punkt.