Polynomfunktion Aufstellen?

Ich muss als Hausaufgabe 2 Polynomfunktionen mit diesen Bedingungen aufstellen komme jedoch nicht weiter: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, er kommt von links unten und geht nach rechts unten. er berührt die x-Achse genau dreimal.

Schonmal im voraus Dankeschön

Answer 1

[evtldocha]

Eine Funktion (Die zweite kannst Du Dir dann selbst überlegen)

$f\left(x\right)=-\frac{1}{20}x^2\cdot\left(x+3\right)^2\cdot\left(x-3\right)^2$

Hinweise:

• Achse "berühren" heißt immer, dass die Nullstellen doppelt sind (oder allgmein: von gerader Vielfachheit)
• Achsensymmetrisch heißt: Nur gerade Potenzen von "x" kommen vor
• Von "links unten" nach rechts unten, heißt, dass der Faktor der höchsten Potenz von x (hier ist die höchste Potenz 6) negativ sein muss.
• Anzahl der Berührungen ist ungerade und dann muss aus Symmetriegründen "x²" stets als Faktor in der faktorisierten Form der Funktion enthalten sein (Dank an ChrisGE1267 für den Hinweis)

Skizze:

Comments

[ChrisGE1267]

Eine Bedingung hast Du noch vergessen: da die Anzahl der Berührungen mit der x-Achse ungerade ist, muss x=0 Berührpunkt des achsensymmetrischen Graphen mit der x-Achse und damit mindestens doppelte Nullstelle sein…

[evtldocha]

@ChrisGE1267

Das ist natürlich wahr.

Answer 2

[nobytree2]

In Verallgemeinerung von evtldocha

$f\left(x\right)=-ax^2\cdot\left(x+b\right)^2\cdot\left(x-b\right)^2\ mit\ a,b\in R,\ a>0,\ b\ne0.$

Answer 3

[JojoMVP]

1. -x⁶+2x⁴-x²

2. -2x⁶+4x⁴-2x²

Comments

[evtldocha]

Die Lösung schneidet aber die x-Achsen, während in der Aufgabe steht, dass die nur "berührt" werden sollen.

[JojoMVP]

@evtldocha

Oh ja stimmt 👀💀

[JojoMVP]

@evtldocha

So müsste jz richtig sein meine ich