Woher weiß ich ob ein Graph die x Achse berührt?
Woher weiß ich ob ein Graph die x Achse berührt
6 Antworten
Indem man prüft ob es eine Nullstelle gibt, an deren Stelle due Steugung = 0 ist.
Dafür können Sie den Graph Plotten und schauen ob da eine ist.
Sie könnt es aber auch berechnen.
Zum berechnen der Berühestelle mit der x-Achse müssen die Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach x umstellen. Alle ausgerechnetten x-stellen sind die Nullstellen. Ist die Steigung an diesen 0, so handelt es sich um eine Berühestelle mit der x-Achse. Um die Steigung dieser Punkte zu berechnen leiten seit die Funktion ab und setzen die ausgerechnetten stellen in die Gleichung ein. Jede Nullstelle die in der Ableitung 0 ergibt ist eine Berühestelle mit der x-Achse.
Das war die Theorie...
Das kann ich auch einmal vormachen an Beispiel der Funktion f(x) = x⁴ - x²:
f(x) = x⁴ - x²
1. Nullstellen berechnen
f(x) = 0 = x⁴ - x²
0 = x⁴ - x²
0 = (x² - 1) * x²
-> Satz des Nullrodukt
x_{Nullstelle 1} = 0
0 = (x² - 1) * x² |:(x - x_{Nullstelle 1}) (Polyomdivision)
0 = (x² - 1) * x
-> Satz des Nullrodukt
x_{Nullstelle 2} = 0
0 = (x² - 1) * x |:(x - x_{Nullstelle 2}) (Polyomdivision)
0 = (x² - 1)
0 = x² - 1 |+1
1 = x² | sqrt()
x = sqrt(1) = ±sqrt(1)
x = ±sqrt(1)
x = ±1
x_{Nullstelle 3} = 1
x_{Nullstelle 4} = -1
Nullstellen:
x_{Nullstelle 1} = 0
x_{Nullstelle 2} = 0
x_{Nullstelle 3} = 1
x_{Nullstelle 4} = -1
2. Ableiten
f'(x) = [x⁴ - x²]' | Trennung der Ableitungsvariablen
f'(x) = [x⁴]' + [-x²]' | Faktorregel
f'(x) = [x⁴]' - [x²]' | Potenzregel
f'(x) = 4 * x³ - 2 * x
3. Nullstellen in Ableitung prüfen
f'(x) = 0 = 4 * x³ - 2 * x
0 = 4 * x³ - 2 * x
0 = (4 * x² - 2) * x
-> Satz des Nullrodukt
x_{Extremstelle 1} = 0
0 = (4 * x² - 2) * x |:(x - x_{Extremstelle 1}) (Polyomdivision)
0 = (4 * x² - 2)
0 = 4 * x² - 2 |+2
2 = 4 * x² |:8
0,25 = x² | sqrt()
x = ±sqrt(0,25)
x = ±0,5
x_{Extremstelle 2} = 0,5
x_{Extremstelle 3} = -0,5
-> Nur die Nullstellen 1 und 2, welche gleich sind Extremstellen,
--> demnach sind nur die beiden Nullstellen 1 und 2 Berühestellen mit der x-Achse.
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte. ^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Ich komme bei den Ex.stellen 2 und 3 auf +-Wurzel(2)
Außerdem ist noch die Bedingung, dass die 2. Ableitung nicht 0 sein darf.
Setze anstatt y einfach 0 ein. Dann nach x auflösen.
Edit: x in zweite Ableitung einsetzen und schauen ob es auch null ist
das reicht für einen Berührpunkt aber noch nicht aus. Die Steigung muss auch null sein
f(x) = f'(x) = 0
f''(x) != 0
Indem du die Nullstellen berechnest, dann siehst du ob es da eine Berührung gibt.
Wie seh ich ob es eine Berührung gibt wenn ich des nur bei einem Term bestimmen muss?
Wie berechne ich die Steigung