Prüfen von logischen Aussagen?
Hey, ich tu mich ein wenig schwer mit einer Aufgabe zur Aussagenlogik:
"Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
a) ∀x ∈ Q : x = 0 ∨ x = 1 ∨ 1/x ≠ x
b) ∀x ∈ N : x = 0 ∨ x = 1 ∨ 1/x ≠ x
c) ∀x ∈ Z : ∃y ∈ Z : x < y
d) ∃y ∈ Z : ∀x ∈ Z : x < y"
Ich hatte versucht, es mal wörtlich aufzuschreiben:
a) Alle rationalen Zahlen x sind x gleich 0 oder x gleich 1 oder 1/x ist nicht gleich x.
b) Alle natürlichen Zahlen x sind x gleich 0 oder x gleich 1 oder 1/x ist nicht gleich x.
c) Für alle ganzen Zahlen x existiert eine ganze Zahl y, die größer ist als x.
d) Es gibt eine ganze Zahl y, die größer ist als jede ganze Zahl x.
Das einzige, wo ich meine, eine Antwort zu haben, wäre d), da ich glaube, dass es keine ganze Zahl y geben kann, die größer ist, als alle anderen ganzen Zahlen x, aber da weiß ich eben auch nicht so recht, wie ich das mathematisch ausdrücken/argumentieren soll.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte :]
1 Antwort
Versuch es doch indem du bei a) und b) alle möglichen Fälle der Verorderung durchgehst und prüfst für welche x diese wahr wären.
Und bei c) kannst du es beispielsweise so umformulieren: "Gegeben ein x. Finde ein y, sodass x < y". Wenn du y jetzt valide in Abhängigkeit von x angeben kannst, dann ist die Aussage wahr.
Den Fall -1 hatte ich gar nicht bedacht. Ja, dann ist a) falsch.
b) ist wahr, ja. C) auch.
Zum mathematischen Beweis:
a) -1 einsetzen, dann zeigst du schon, dass die Aussage nicht gilt.
b) Fallunterscheidung, dann die letzte Aussage für alle x ungleich 0 und 1 zeigen.
c) y = x + 1;
d) x = y + 1;
Also ich hätte jetzt, dass a) eine falsche Aussage ist, da für x=-1 die dritte Bedingung, also 1/x ungleich x, nicht mehr gelten würde, da 1/-1 = -1 ist. Für b) wäre es eine richtige Aussage, da alle drei Bedingungen für alle natürlichen Zahlen geltend sind. c) ist auch richtig, da man durchaus eine ganze Zahl y größer als eine andere x findet.
Bin mir allerdings immer noch unsicher, was den Beweis angeht, also wie man die Begründungen mathematisch formuliert