Ist bei der Aufgabe "∀x ∈ R ∃y ∈ N : x + y > 0" y immer gleichbleibend oder variiert y zu jedem x?
Ich muss die Aussagen immer verneinen und begründen welche richtig ist.
Heißt es:
- Es existiert eine natürliche Zahl y, welche addiert mit egal welcher reellen Zahl x größer als 0 ist.
(unwahr, weil es in die minus Richtung unendlich kleine reelle Zahlen gibt und somit nie eine einzige natürliche Zahl als Ergebnis immer größer 0 rausbekommt)
oder
- Es existiert zu jeder reellen Zahl x eine jeweilig passende natürliche Zahl y welche addiert größer als 0 sind.
Wenn erstiges richtig wäre, was ich wahrscheinlicher finde, dann komme ich mit der Verneinung nicht weiter.
die würde lauten: ∃x ∈ R ∀y ∈ N : x + y < 0
also es existiert ein R Zahl x, welche addiert mit egal welcher N Zahl y kleiner als 0 ist.
Auch unwahr, weil egal wie klein die reelle Zahl auch sein mag, es wird immer eine größere N Zahl geben, da es ja ins unendliche geht.
Sind wirklich beide Aussagen unwahr und es ist eine Tricky Aufgabe oder habe ich was falsch verstanden?
2 Antworten
Ja, y kann von x abhängig sein.
Lies die Aussage nochmal von vorne nach hinten:
Für jedes reelle x gibt es ein natürliches y, sodass x + y > 0 ist.
Also: Für jedes eins. Und nicht eins für jedes. Deine zweite Version stimmt also.
Die erste Version
Es existiert eine natürliche Zahl y, welche addiert mit egal welcher reellen Zahl x größer als 0 ist.
wäre:
Das ist wie du richtig erkannt hast eine falsche Aussage.
Für die Verneinung dreht man alle Quantoren um (d.h. aus "für alle" wird "es existiert" und andersherum) und negiert die letzte Aussage:
Bildlich: Zieht man die Negation an einem Quantor vorbei, dreht er sich um.
Äquivalent wäre also auch:
Ich würde es als:
Für jedes X element R existiert ein y element N sodass X+y>0 gilt.
Deuten. Somit entsprechend zwei.
Dieses Dreieck bedeutet ja für alle. Und ich lese immer noch von links nach rechts. Und ich denke nicht das man beide parts einfach tauschen kann.
Verneinung würde bedeuten das die Aussage unwahr sein muss.
Imgrunde reicht das die Umkehrung der Bedingung denke ich aus.
Sprich: für jedes X element R existiert ein y element n sodass y+X <= 0 ergibt.
Diese aussage ist schlichtweg falsch.
Weil die Bedingung für alle X grösser 0 niemals erfüllt ist.
Für ne komplette negierung eine warheits Tabelle in abhängigkeit von X könnte sagen:
Für jedes X element R existiert kein y element n sodass X+y>0 gilt.
Diese aussage wäre für alle X falsch. Denn ex gibt ja zu jedem X ein y das die Bedienung erfüllt wird.
Edith: Willibergi hat die korrekte Negation. Das was ich hier dazu gemacht habe ist falsch und geht imgrunde nur weil wir wissen das die Aussage wahr ist. Wenn wir das nicht wüssten wird es schwer fallen die Aussage auf diese weise zu negieren.