produktregel e-funktion ausklammern?

6 Antworten

Du hast ja selbst 

E'(x)=4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2) herausgefunden. Achtung, wie schon Willi erwähnte, musst du den Exponenten in Klammer setzen, da er aus mehr als einer Zahl besteht. Richtig wäre also: 

E'(x)=4e^(-02x) + 4xe^(-0,2x)* (-0,2). Den ersten Summand darfst du mit 1 multiplizieren ohne dass sich was ändert und im 2. darfst du das x einfach nach hinten schreiben, wegen dem Kommutativgesetz.

Das kann man umschreiben als E'(x) = 4e^(-0,2x) *1 4e^(-0,2x)*(-0,2x)Jetzt kannst du 4e^(-0,2x) ausklammern und erhälst:4e^(-0,2x) (1-0,2x)

Ich hoffe ich konnte helfen! Der Punkt, der dir wahrscheinlich Kopfschmerzen bereitet ist der, dass wenn du etwas komplett ausklammerst in der Klammer trotzdem eine 1 stehen bleibt, weil etwas*1 = etwas.

danke dir,

aber warum würde ich den ersten Summanden mit 1 multiplizieren? das mit dem x, verstehe ich, da es ja hier vor der 4 steht und eine unabhängige variable ist, sodass das kommutativgesetz greift. aber wo kommt diese 1 her, mit der ich den 1. Summanden multipliziere?

beim zweiten nehme ich in ja aus dem 4xe was nix anderes ist als 4*x*e und setze ihn nach hinten, da ist nun der Faktor (-0,2) und diesen multipliziere ich dann mit dem besagten x, sodass -0,2x daraus entsteht. aber das mit der 1 erschließt sich mir nicht. wo krieg ich die her? du hast geschrieben, ich darf den Summanden einfach mit 1 multiplizieren, aber wenn sich sowieso nix ändert, warum würde ich das machen?


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@vaynsia

Du tust es damit du die ganze Zahl ausklammern darfst. In die Klammer muss ja auch was kommen. Das ist der typischste aller Fehler: einfach den ganzen Ausdruck ausklammern und in die Klammer nichts zu schreiben. 

Das ist genau der Trick: wenn du eine Zahl mit 1 multiplizierst ändert sich ja ihr Wert nicht. Zahl*1 = Zahl (außer die Zahl ist 0, was in unserem Beispiel ja nicht greift)

Ich geb dir mal ein anderes Beispiel. Wenn du x+x³ faktorisieren sollst, siehst du bestimmt, das du x ausklammern kannst.

Der Trick besteht darin x =x*1 und x³ = x*x² 

du kannst also schreiben x+x³ = x*1 + x*x² | jetzt x ausklammern

=x(1+x²)

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Hallo,

4x*e^(-0,2x) ergibt nach Produkt- und Kettenregel abgeleitet:

4*e^(-0,2x)+4x*(-0,2)*e^(-0,2x)

Zusammengefaßt:

4e^(-0,2x)-4*e^(-0,2x)*0,2x (Das x hinter der 2 gehört zu 4x, die beim zweiten Summenterm nach der Produktregel beim Ableiten erhalten bleibt).

Das Minus stammt aus der inneren Ableitung von -0,2x, nämlich -0,2.

Nun klammerst Du 4e^(-0,2x) aus und bekommst:

4e^(-0,2x)*(1-0,2x)

Die 1 ist also das, was übrigbleibt, wenn Du aus 4e^(-0,2x) eben diesen Faktor ausklammerst.

Übrigens: Die Klammer um (-0,2x) bei e^(-0,2x) ist unverzichtbar.

Ohne Klammer gehört nur -0,2 zum Exponenten, nicht mehr das x.

e^-0,2x ist (e^-0,2)*x und nichts anderes.

Die Klammern kannst Du nur dann weglassen, wenn durch das Hochstellen der verkleinerten Ziffern und Buchstaben deutlich wird, was zum Exponenten gehört.

Das ist aber hier nur schwer möglich.

Herzliche Grüße,

Willy

erstmal großen dank willy,

kurze frage noch...hab nicht ganz verstanden, wo das minus beim zusammenfassen vor der 4 kommt. unabhängig von der Ableitung, hast du hierbei, wie ich sehe, x*(-0,2) gerechnet und diese dann am ende angehängt. soweit klar. dann würde sich für mich nach dem zusammenfassen aber 4e^(-0,2x)+4e^(-0,2x)*(-0,2x) ergeben.

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@vaynsia

Das Minus kommt aus der inneren Ableitung.

In der Produktformel gehört da ein Plus hin, was durch das Minus zum Minus wird.

+4x*(-0,2)*e^(-0,2x) wird zu -4x*0,2e^(-0,2x)=-4e^(-0,2x)*0,2x

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du schriebst 

"hierbei würde ich nun noch 4e^-0,2x ausklammern und würde dann zu folgender Gleichung kommen

4e^-0,2x*(-0,2x)"

wenn du diesen Term nun gleich setzt mit dem E'(x) von dir 

E'(x)=4e^-02x + 4xe^-0,2x* (-0,2). Dein Fehler besteht darin dass du zwar richtig 4e^(-0,2x) ausklammerst aber denkst, dass dann im ersten Summand nichts mehr übrig bleibt für die Klammer. Du denkst:

E'(x) = 4e^(-0,2x) (0-0,2x) = 4e^(-0,2x)*(-0,2x)

Aber 4e^(-0,2x)*0 = 0. Zahl mal 0 ist 0

ahja, ich verstehe!

also, weil ich, im Gegensatz zum 2. Summanden, im 1. Summanden "alles" ausklammer und hierbei "nichts" übrig bleibt, anders wie im 2. Summanden, wo noch ein x und (-0,2) über bleibt, hinterlasse ich fürs ausklammern des 1. Summanden eine 1.

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@vaynsia

genau so! Immer wenn du alles ausklammern willst musst du eine 1 hinterlassen!

Ich hoffe ich konnte dir deinen Denkfehler verständlich erklären und du kannst das jetzt auch für andere Aufgaben anwenden!

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9x^2+9x-2 faktorisieren durch Gruppierung(sehr wichtig)?

Hallo zsm,

ich möchte diese Funktionsgleichung, nicht mithilfe der pf-Formel, lösen:

9x^2+9x-2=0

Ich habe soweit geschafft, nur ich habe Probleme mit + und - Zeichen, sodass die Lösung im Endeffekt doch falsch ist, deshalb möchte ich bitten die Wissenden von Euch, mein Rechenweg zu analysieren und hinweisen wo der Fehler liegt. Ich werde auch meine Gedanken dazuschreiben. Auch da bräuchte ich Hinweise. Also:

Da dieser Term keinen gemeinsamen Faktor hat und man nicht sofort die Wurzel ziehen kann, möchte ich diesen Term nun Gruppieren.

Der erste Schritt wäre herauszufinden welche Zahl, die multipliziert das Ergebnis -29=-18 hat und die Summe dieser Zahl +9 ergibt:

a+b=9 und ab=-29=-18

Ich kam also auf 36. Addiert ist die Summe 9, multipliziert ist die Summe 18. Nun ist jetzt die Frage mit dem Vorzeichen, es muss ja -18 ergeben aber auch eine positive Summe, 9.

Ich entscheide mich, dem Term die -1 zu setzen damit sich die Vorzeichen Im Term ändern und ich die passende Zahlen einsetzen kann:

-1(9x^2-9x+2)

jetzt gruppieren:

-1(9x^2-6x-3x+2)

Damit ich gleich nicht so viele Klammer stehen habe, entscheide ich mich die -1 zu entfernen, die Vorzeichen ändern sich wieder:

9x^2+6x+3x-2

jetzt ausklammern:

(9x^2+6x)+(3x-2)

weiter faktorisieren:

3x(3x+2)+1(3x-2) <--------- wie man sieht kann ich die 3x+2 nicht ausklammern, weil in einem steht plus und in anderem minus.

Wenn ich trotzdem weiter mache und den minus Zeichen mit plus ersetze, könnte ich die 3x+2 ausklammern:

(3x+1)(3x+2)

als Ergebnis habe ich:

x1=-1/3

x2=-2/3

Wenn ich aber im Taschenrechner eingebe, kommen die gleichen Zahlen für x raus, aber eben ohne den MInus davor.

Wo habe ich Fehler gemacht? kann mir jemand erklären? Habe viel geschrieben, bräuchte aber wirklich eine Erklärung.

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