e-Funktion Quadrieren?
Hallo,
ich habe Folgende Funktion: f(x) = 0,2(x-5)e^x
Meine Aufgabe ist es, das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen. Dafür muss ich ja die Funktion quadrieren, dann die Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen etc.
Ich mache also aus der gegebenen Funktion erstmal f(x) = (0,2x - 1)e^x.
Wie quadriere ich die Funktion jetzt? Wie muss ich hier vorgehen und was ist das Ergebnis?
3 Antworten
Hallo,
diese Funktion wechselt bei x=5 auf die positive Seite der x-Achse (einzige Nullstelle) und nähert sich in Richtung minus unendlich von unten der x-Achse.
Die untere Grenze des Integrals ist also minus unendlich (uneigentliches Integral), die obere ist 5.
Da sich die Funktion nach links aber der x-Achse annähert, kannst Du das Integral der unteren Grenze als Null annehmen, benötigst für die Volumenberechnung also nur noch F²(5).
Da f(x) aus den Faktoren (x/5-1) und e^x besteht, kannst Du diese einzeln quadrieren. [f(x)]²=(x/5-1)²*e^(2x).
Dieses Integral bekommst Du über die partielle Integration mit f(x)=(x/5-1)² und
g'(x)=e^(2x), also g(x)=0,5*e^(2x).
Nachdem Du das zweimal durchgezogen hast, kommst Du endlich auf
F²(x)=0,01e^(2x)*[(x/5-1)²*50-(x/5-1)*10+1]
F²(5)=0,01e^10 (wegen (5/5-1)=0 bleibt in der Klammer nur noch die 1 als Faktor übrig) und das ergibt 220,2646759.
Das brauchst Du nur noch mit pi zu multiplizieren, dann hast Du Dein Rotationsvolumen.
Ich hoffe, Du kennst das Prinzip der partiellen Integration. Ich empfehle Dir dringend, das selbst durchzurechnen, denn das ist eine gute Übung. Was am Ende herauskommen muß, habe ich Dir ja gezeigt (hab's auch erst im vierten oder fünften Anlauf geschafft).
Herzliche Grüße,
Willy
(0,2x - 1)e^x
e^x quadriert ist e^2x und das andere ist die zweite binom -Formel
(a•b)^2=a^2 • b^2
(c-d)^2=c^2 - 2cd + d^2
(e^x)^2=e^(2x)
Was ist bei dir a und was b? Also wie hast du die Funktion aufgeteilt?
Das sind allgemein die Rechenregeln, welche du brauchst. Jetzt ersetze z.B. a einfach durch 0,2(x-5), b durch e^x usw.
Danke! Hab nicht dran gedacht das so aufzuteilen. Was nutzt du da für ein Tool?