Physikalische Anwendungen des Integrals?
Die Leistung einer Maschine nimmt im Verlauf von 24 Stunden exponentiell von 7.2MJ/h auf 2.51MJ/h ab.Wieviel Arbeit wird dabei verrichtet ?
3 Antworten
Du weißt über die Maschine zwei markante Punkte deiner unbekannten Leistungsfunktion P(t):
- A(0 h | 7,20 MJ/h)
- B(24 h | 2,51 MJ/h)
Weiterhin weißt du, dass deine Funktion exponentieller Natur ist und daher den folgenden Grundaufbau hat:
P(t) = na^t + P(0)
Da du nur zwei Punkte gegeben hast und der Aufbau der Funktionsgleichung drei Unbekannte beinhaltet, handelt es sich wahrscheinlich um eine natürliche Exponentialfunktion, also zur Basis e (Euler-Zahl!):
P(t) = ne^t + P(0)
Setzt du nun jeweils beide Punkte in die Gleichung ein, kommst du auf zwei Gleichungen und zwei Variablen. Behandle dies als Gleichungssystem und verwende Eliminierungs- oder Einsetzungsverfahren.
Die Fläche unter dem Graphen deiner Leistungsfunktion ist die Arbeit. Also nimmst du deine ermittelte Funktionsgleichung und leitest diese nach t auf um die Stammfunktion zu bilden. Diese beschreibt nämlich die Fläche unter dem Graphen. Nun berechnest du schlichtweg deren W(t)-Wert zum Zeitpunkt t = 24 h.
Mathematisch genauer berechnest du die Differenz von W(24 h) zu W(0 h). Man kann auch sagen, dass du deine Leistungsfunktion P(t) in den Grenzen 24h und 0 h integrierst.
Hallo,
7,2*e^(24k)=2,51 mit Hilfe des natürlichen Logarithmus nach k auflösen, danach
f(t)=e^(kt) von t=0 bis t=24 integrieren.
F(t)=(1/k)*e^(kt)+C
Herzliche Grüße,
Willy
Dein P(t) stimmt doch. Du hast nur einen Ansatz ohne e genommen.
0,95704^t kannst Du in e^(t*ln(0,95704)) umschreiben.
zuerst alles in SI-Einheiten umrechnen,siehe Physik-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.
7,2 MJ/h=7200000 J/3600s=2000 W (Watt)
2,51 MJ/h=697,22 W
"exponetielle Abnahme"
N(t)=No*a^t
0<a<1 mit P(t)=Po*a^t hier ist Po=2000 W und P(24)=697,22 W und t=24 Std
697,22/2000=a^24
a=24.te Wurzel(697,22/2000)=0,957
Probe P(24)=2000 W*0,957^24=696,49 W bis auf Rundugsfehler genau
aus dem Physik-Formelbuch
P=W/t ergibt W=P*t wenn P=konstant
W=Integral(P(t)*dt mit P(t)=Po*a^t Konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden
siehe Mathe-Formelbuch Integrationsregeln und Grundintegrale
Integral a^x=a^x/ln(a)+C
W=Po*Integral(a^t*dt)=2000 W*Integral(0,957^t*dt)
W=2000 W(0,957^t/ln(0,957)+C
W=obere Grenze minus untere Grenze dabei fällt die Konstante C weg
obere Grenze to=24 Std. untere Grenze tu=0 Std.
Den rest schaffst du selber.
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Du kannst nicht s mit h mischen. Da kommt natürlich was falsches raus.
Ansatz richtig, Rechnung falsch.
nein , man kann ja in MWh rechnen und das in MJ umrechnen. Alles OK.
Hast recht! Man muß natürlich hier Sekunden anwenden,weil ja Po=2000 W=2000 J/Sekunde
Ich muß mal eine Proberechnung machen.
Einmal mit t=24 Std, und einmal mit t in Sekunden.
Ist schon inOrdnung wie du es machtest, es kommt das richtige raus in Wh. Habe es nachgerechnet: ~106 MJ.
Problem:Ich mache hier keine Kontrollrechnung,weil mir das zu viel Arbeit ist,die man mir nicht bezahlt.
Man muß natürlich immer vorsichtig sein,wenn es um vermischte Einheiten geht.
Grundsätzlich immer auf SI-Einheiten umrechnen
du hast es ja fast fertig gerechnet ;-)
mit dem Ansatz von Willy (der eigentlich der gleiche ist) kommt das selbe raus.
Die Zahlenwerte stimmen, ich habs gestern nachgerechnet. Zuerst dachte ich, es gäbe da einen Fehler, aber dann habich gesehen, dass es passt.
Ich habe mal eine Probe durchgerechnet mit den Werten
Po=2000 W (Watt) und P(1)=200 W (Watt) nach 1 Minute
und 1 min=60 s und habe da 2 verschiedene Ergebnisse.
1) mit t=1 min
200/2000=0,1=a^1 wergibt a=0,1
Probe: P(1)=2000 W*0,1^1=200 W
Integriert ergibt W=2000 W*(0,1^t/ln(0,1))+C
mit tu=0 und to=1 min
W=(2000 *0,1^1/ln(0,1)) - (2000*0,1^0/ln(0,1)=-86,85 +868,58=781,7..Joule
nun in Sekunden 1 min=60 s
200/2000=0,1=a^60 ergibt a=0,96235...
Probe: P(t)=2000 W*0,96235^60=200 W (Watt) integriert
W=(2000*0,96235^60/ln(0,96235)) -(2000*0,96235^0/ln(0,96235))=
-5211,24 +52114,45=46903,2 Joule
Also 2 verschiedene Ergebnisse.
Du hast somit Recht gehabt,daß man als Zeit "t" Sekunden einsetzen muß
als ich hab jz das k und jz somit P(t)=7,2*0.95704^t
nur wie tu ich das integrieren ? Bitte hilf mir!