Partielle Integration?

Für mein Fernstudium muss ich mich leider wieder mit Mathematik beschäftigen und momentan hänge ich beim Thema partielle Integration.

Das gegebene Integral ist e^x * cos(x) . Ich habe e^x als v' und cos(x) als u gewählt. Da nach einer partiellen Integration das Ergebnis ja nicht wirklich hilfreich ist, habe ich nochmals partiell integriert und komme dann auf:

{ = Integralsymbol

cosx * e^x - (-sinx * e^x - { - cosx * e^x)

Das stimmt soweit auch mit unseren Lösungen überein. Darauf folgend würde ich das Integral auflösen und zusammenziehen.

cosx *e^x - (-sinx * e^x + {cosx * e^x)

cosx * e^x + sinx * e^x + sinx * e^x + C

Als Ergebnis dann also

e^x * (cosx + 2sinx) + C

In unserer Lösung kommt aber etwas vollkommen anderes raus und ich find meinen Fehler irgendwie nicht.

Lösung: e^x * (sinx + cosx)/2 + C

Mein allwissender Taschenrechner kommt da auch drauf, der Fehler liegt also bei mir. Wäre schön wenn jemand so nett wäre mich darüber aufklären könnte, wo ich falsch abgebogen bin.

Answer 1

[Rhenane]

Du hast im nächsten Schritt "einfach" aus {cosx * e^x integriert sinx * e^x gemacht! Das e^x gehört mit ins Integral, d. h. das geht so nicht!

Stattdessen musst Du die Minusklammer auflösen und dieses Integral auf die andere Seite ziehen (wo dasselbe Integral ja als "Startintegral" schon steht, d. h. Du hast:

2*{cosx * e^x = cosx * e^x + sinx * e^x

Jetzt durch 2 teilen und Du hast die richtige Lösung.

Comments

[DickerOrk]

Vielen dank

Answer 2

[Hamburger02]

Wie kommst du von
cosx *e^x - (-sinx * e^x + {cosx * e^x)
auf
cosx * e^x + sinx * e^x + sinx * e^x + C
?

Ich würde so rechnen:
∫e^x * cos(x) dx = e^x * cos(x) - (-e^x * sin(x) + ∫e^x * cos(x) dx + C
∫e^x * cos(x) dx = e^x * cos(x) + e^x * sin(x) - ∫e^x * cos(x) dx + C

Jetzt holen wir das Integral rechts nach links:
2 * ∫e^x * cos(x) dx = e^x * cos(x) + e^x * sin(x) + C

Und haben damit die Lösung:
∫e^x * cos(x) dx = [e^x * cos(x) + e^x * sin(x)] / 2 + C

Answer 3

[LoverOfPi]

$f\left(x\right)=e^x\cdot\cos\left(x\right)$ $I=\int e^x\cdot\cos\left(x\right)dx$ $I=e^x\cdot\cos\left(x\right)-\int e^x\cdot-\sin\left(x\right)dx$ $I=e^x\cdot\cos\left(x\right)+e^x\cdot\sin\left(x\right)-\int e^x\cdot\cos\left(x\right)$ $I=e^x\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)-I$ $I=\frac{e^x}{2}\cdot\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)+C$ Hab ein dx vergessen, sorry

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester