Partielle Ableitungen?

Hallo! Ich verstehe nicht ganz, wieso man bei der partiellen Ableitung für x nicht mal sin(3x^2y^5) multipliziert, wenn

u=y u'=1

v= sin(3x^2y^5) v'=cos(3x^2y^5)* 6xy^5 ist.

Man rechnet ja eigentlich u* v'+ u'* v

Answer 1

[verreisterNutzer]

Spätestens bei mehrdimensionalen Funktionen und partiellen Ableitung empfehle ich dringend zur Vermeidung der eigenen Verwirrung auf die Schreibweise mit den hochgestellten Strichen komplett zu verzichten (persönlich bevorzuge ich d/dx auch für eindimensionale Funktionen). Wenn da

$\partial_x\ \ oder\ \frac{\partial}{\partial x}$ steht, dann liest man daraus ab, dass nach x abgeleitet wird und alles andere als Konstante behandelt wird. Das betrifft dann auch alle anderen Variablen der mehrdimensionalen Funktion.

Answer 2

[gauss58]

Wenn u = y so ist u' = 0 (nicht 1), du leitest nach x ab.

Zudem benötigst Du die Produktregel bei der Ableitung nach x nicht, da y eine Konstante ist.

Answer 3

[nobytree2]

nach x: (y ist eine Konstante)

$\left(y\cdot\sin\left(3x^2y^5\right)\right)'=y\cdot\left(\sin\left(3y^5x^2\right)\right)'=y\cdot\left(3y^5x^2\right)'\cdot\sin'\left(3x^2y^5\right)$ $=y\cdot3y^5\cdot\left(x^2\right)'\cdot\cos\left(3x^2y^5\right)=3y^6\cdot2x\cdot\cos\left(3x^2y^5\right)=6xy^6\cos\left(3x^2y^5\right)$

nach y: (x ist eine Konstante)

$\left(y\cdot\sin\left(3x^2y^5\right)\right)'=\left(y\right)'\cdot\sin\left(3x^2y^5\right)+y\cdot\left(\sin\left(3x^2y^5\right)\right)'$ $=1\cdot\sin\left(3x^2y^5\right)+y\cdot\left(3x^2y^5\right)'\cdot\sin'\left(3x^2y^5\right)$ $=\sin\left(3x^2y^5\right)+y\cdot3x^2\cdot\left(y^5\right)'\cdot\cos\left(3x^2y^5\right)$ $=\sin\left(3x^2y^5\right)+3x^2y\cdot5y^4\cos\left(3x^2y^5\right)$ $=\sin\left(3x^2y^5\right)+15x^2y^5\cos\left(3x^2y^5\right)$