Operatoren und Normen?

Gegeben ist der Operator

A : c —> c_0,

A((x_n)) = (x_n - lim x_n + x_n / n)

Dann gilt ||A|| <= 3, wobei ||•|| die Oparatirnorm bezeichnet. Wie kann ich aber jetzt ||A^(-1)|| nach oben abschätzen?

Comments

[eterneladam]

Wie ist die Norm definiert?

[ursula44549]

||A|| := sup{||Ax|| : ||x|| <= 1}
= sup{sup{ |Ax_n| : n} : ||x|| <= 1}
Also bei A^(-1) entsprechend. Aber wie kommt man jetzt weiter?

Answer 1

[eterneladam]

Zu klären ist vorab die Existenz von A^(-1).

Wenn eine Nullfolge y_n gegeben ist, dann kann man durch Addition einer beliebigen Konstanten c eine konvergente Folge x_n erhalten, deren Bild unter A gerade y_n ist.

x_n := (y_n + c)/(1+1/n) --> c

A((x_n)) = (x_n - lim x_n + x_n / n) = (x_n (1+1/ n) -c) = (y_n)