Multiplikation und/oder Addition?
Es sei (G, ∗) eine Gruppe, und seien f, g, h ∈ G. Zeigen Sie:
∗ bedeutet Verknüpfung
(a) f ∗ h = g ∗ h ⇐⇒ f = g.
(b) h ∗ f = h ∗ g ⇐⇒ f = g.
(c) Es gibt genau ein neutrales Element e ∈ G.
Muss man bei ∗ + und/oder × verwenden
3 Antworten
Muss man bei ∗ + und/oder × verwenden
Weder noch. Du musst es für eine allgemeine Verknüpfung zeigen, die zu einer Gruppe gehört. Es reicht also nicht aus, wenn du es nur für die Addition beweist.
wie kann man aber zeigen , wenn man keine Aussagen über * macht ?
Es wurden aber Aussagen zu * gemacht, und zwar, dass (G, +) eine Gruppe ist, weswegen * die Gruppen Axiome erfüllt.
Da G und ∗ eine Gruppe bilden, muss es ein neutrales Element e aus G geben, sodass g∗e=e∗g=g für alle g aus G gilt.
Du musst für (c) also nur zeigen, dass es genau ein solches Element gibt. Dies kann man so machen:
Man nehme an, es gibt n neutrale Elemente e_1, e_2, ..., e_n mit der obigen Eigenschaft, dann folgt
e_1∗g=e_2∗g=...=e_2∗g=g.
Da es in einer Gruppe auch ein inverses Element, nennen wir es –g aus G, zu jedem Element g aus G gibt, sodass man e1, e2, ... oder e_n erhält (wir nehmen ja an, dass e_1, e_2, ..., e_n neutrale Elemente sind), folgt
e_1∗g∗(–g)=e_2∗g∗(–g)=...=e_n∗g∗(–g)
e_1∗e_1=e_2∗e_2=...=e_n∗e_n
e_1=e_2=...=e_n.
Die Elemente sind also gleich und somit gibt es genau ein neutrales Element e. Wir haben (c) gezeigt.
Bei (a) und (b) können wir auch die Existens des Inversen für h anwenden, dann erhalten wir
h∗f=h∗g
(–h)∗h∗f=(–h)∗h∗g
e∗h=e∗g
h=g.
Beachte, dass –h auf beiden Seiten entweder links oder rechts verknüpft werden muss, man also bei h∗g∗(–h) nicht automatisch g erhält. Das liegt daran, dass eine Gruppe erstmal nicht kommutativ sein muss (das wäre eine abelsche/kommutative Gruppe).
So zeigst du das selbe für (b), nur eben dass –h links verknüpft wird.
Das ist einfach eine Verknüpfung. Das muss nicht die Addition oder die Multiplikation sein. Eine Gruppe hat halt eine Operation, die auf ihr definiert ist.
wie kann man aber zeigen , wenn man keine Aussagen über * macht ?
oder wie rum läuft der Hase ? Wird "Gruppe" schon vorausgesetzt ? Was auch immer * ist ,
G ist N , * ist add
Das ist eine
G ist N , * ist multi
Das ist keine.
.
Bei ( G , * ) kann das zweite gar nicht gemeint sein ?