Mitternachtsformel (Herkunft)
Hi,
ich habe neulich zum ersten Mal von der Mitternachtsformel gehört. Mich Interessiert wo diese Formel gelehrt wird. Und in diesem Zusammenhang auch, warum nicht die p-q-Formel / Quadratische Ergängzung gelehrt wird. Zumal man für eine echte quadratische Gleichung (ax^2 + bx + c = 0, a<>0) oBdA angenommen werden kann, dass a=1 ist.
Vielen Dank und viele Grüße!
6 Antworten
Ich habe die p-q-Formel in meiner Oberstufenzeit (d. h. vor ca. 30 Jahren, Gymnasium in NRW) gelernt, einschließlich ihrer Herleitung aus der quadratischen Ergänzung. Als Referendar habe ich dann vor ein paar Jahren in der FOS und in der gymnasialen Oberstufe ebenfalls p-q-Formel und quadratische Ergänzung gelehrt. Die "Mitternachtsformel" habe ich selber nie gelernt oder gelehrt, ich kann sie nicht auswendig und werde mir auch nicht die Mühe machen, sie noch zu lernen, weil ich mit der p-q-Formel gut auskomme - ob ich nun erst normiere und dann u. U. mit gebrochenen p und q rechnen muss, oder ob ich die Brüche bei Anwendung der Mitternachtsformel später bekomme, macht m. E. keinen Unterschied.
Also: in NRW wird q. E. und p-q-Formel gelehrt, weil der Lehrplan der Klasse 11 das so vorsieht. Wie es in den Lehrplänen der andern (Bundes-)Länder aussieht, kann ich Dir nicht sagen.
Warum das eine oder das andere gelehrt wird, müsstest Du die Leute fragen, die (damals, vor langer Zeit) die Lehrpläne aufgestellt haben. Die haben sich vermutlich Gedanken dazu gemacht, warum sie das eine oder das andere für sinnvoller gehalten haben. Wahrscheinlich waren aber eher pädagogisch-didaktische als mahematische Überlegungen ausschlaggebend. (Z. B. könnte ich mir als Pluspunkt vorstellen, dass die p-q-Formel leichter zu merken ist.)
Das kann ich leider nicht beantworten, weil ich - wie gesagt - gar keine Erfahrung mit der "Mitternachts-Formel" habe. Ich persönlich finde, die p-q-Formel ist leichter zu merken (u. a. weil ja nur 2 Variablen drin sind), aber wahrscheinlich auch, weil ich sie einfach schon in der Schule gelernt habe.
Mich Interessiert wo diese Formel gelehrt wird.
Z.B. im Mathe-Unterricht fast jeder dafür in Frage kommenden Schule.
Und in diesem Zusammenhang auch, warum nicht die p-q-Formel / Quadratische Ergängzung gelehrt wird.
Die wird dort ebenfalls gelehrt. Außerdem leitet man die "Mitternachtsformel" ebenfalls über die quadratische Ergänzung her, was in der Schule auch tatsächlich gelehrt wird.
Zumal man für eine echte quadratische Gleichung (ax^2 + bx + c = 0, a<>0) oBdA angenommen werden kann, dass a=1 ist.
Ja. Allerdings kann es in manchen Fällen sein, dass die Rechnung mit der "Mitternachtsformel" einfacher ist - nämlich dann, wenn a, b und c ganzzahlig sind, p und q hingegen nicht.
Z.B. im Mathe-Unterricht fast jeder dafür in Frage kommenden Schule.
Was bedeutet " Frage kommenden Schule"? Da ich auch mal zur Schule gegangen bin... kam meine Schule nicht in Frage? ;) Ist das letztendlich abhängig vom Bundesland?
Wieso wird die Rechnung einfacher? Die Lösung ist in beiden Fällen gleich. Und mit rationalen Zahlen müsste man in der p-q-Formel nur einen Schritt mehr machen. Zumal die rationalen Zahlen nach Klasse 5 bekannt sein sollten.
OK, ich habe zu sehr verallgemeinert.
Ich selbst habe in meiner Schulzeit beide Formeln gelernt, und es wurden im Unterricht beide aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet. Da wo ich lebe, ist das auch heute noch so. Ich lebe allerdings nicht in Deutschland, sondern in Österreich.
Wieso wird die Rechnung einfacher? Die Lösung ist in beiden Fällen gleich. Und mit rationalen Zahlen müsste man in der p-q-Formel nur einen Schritt mehr machen.
Ja, da hast du recht. Ich gebe mich geschlagen. Somit kann ich leider deine Frage nach dem "Warum" nicht beantworten.
Ich gebe mich geschlagen.<
Bloß nicht. Dieser zusätzliche Schritt (Division durch den Koeffizienten) vor x² ist ein Klacks gegenüber den Fehlermöglichkeiten bei der Anwendung der "Mitternachtssformel", was ich ohnehin für einen albernen Namen halte.
Die Ausdrücke für x1 und x2 sind wesentlich kompllzierter als bei der p,q-Formel. Das erkennt jeder, der es mal auf beide Weisen ausrechnet.
Natürlich sind die Nullstellen dieselben; a steht ja nur für eine Streckung oder Stauchung der Parabel.
Es wird an der Schule relativ selten benutzt da sie manche schwieriger finden. Im Grunde genommen ist die p-q-Formel die Mitternachtsformel denn die herleitung ist vom System her absolut gleich, der unterschied ist nur die bezeichnung:
x² + p * x + q = 0
a * x² + b * x + c = 0 \a
x² + b:a * x + c:a = 0 = x² + p * x + q
Also ist p = b:a und q = c:a, dann stellst du nach x um und hast bei beiden Systemen im Endeffekt die gleiche Formel mit anderen Bezeichnungen.
Hallo, mir geht es da wie dir: Ich kenne sie vom Gymnasium und sie hieß auch anders, ich glaube abc-Formel. Diese Formel stand in der Formelsammlung, zusammen mit der pq-Formel. Das Problem ist, dass man diese Formeln über die Jahre/Jahrzenhnte vergessen kann. Man tut also gut daran, die quafratische Ergänzung zu beherrschen, da man mit ihr beide Formeln sofort herleiten kann...
Ich hab alle drei Sachen schon in der Schule gelernt.... An der Uni wird bei uns die Quadratische Ergänzung gelehrt, aber alles andere ist natürlich auch okay.
Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Weißt du, wie die Schüler auf die beiden Formeln reagieren, bzw. welche ihnen einfacher fällt oder wo die intuition besser ist?