Minimaler Flächeninhalt mit Parameter?
Hallo zusammen. Ich hänge grade an einer Matheaufgabe die lautet:
Die Graphen der Funktionen fa mit f(x)= a sin(x) und ga mit g(x)=-1/a sin(x) begrenzen für das Intervall [0;Pi] eine Fläche.
Für welche Werte von a ist der Flächeninhalt minimal? Wie groß ist der Flächeninhalt?
Meine Idee wäre gewesen die Funktionen gleichzusetzen, also Schnittpunkte auszurechnen aber ich weiß nicht wie ich das mit dem Parameter a schaffen kann. Die Aufgabe ist ziemlich wichtig für mich, wäre schön wenn jemand mir antworten könnte. Danke im voraus!
5 Antworten
Hallo,
um die Fläche zwischen beiden Funktionen zu berechnen, deren Schnittpunkte bei x=0 und x=π liegen, bildest Du die Differenz von fa(x) und ga(x) und integrierst diese.
So kommst Du auf ∫a*sin(x)-((-1/a)*sin (x)dx mit den Grenzen 0 und π
Das ist gleich ∫a*sin (x)+(1/a)*sin (x)dx=
= ∫a*sin (x)+ ∫(1/a)*sin (x)dx=a* ∫sin (x)dx+(1/a)* ∫sin (x)dx= ∫sin (x)dx*(a+1/a)
∫sin (x)dx*(a+1/a)=-cos (x)*(a+1/a)
Wenn Du für x die Grenzen pi und 0 einsetzt, kommst Du auf die Werte -1 und 1 und erhältst somit (a+1/a) (obere Grenze) und -(a+1/a) (untere Grenze).
Zieh das Integral der unteren Grenze von dem der oberen ab:
a+1/a+(a+1/a)=2a+2/a.
f(a)=2a+2/a ist eine Funktion der Fläche zwischen den beiden Graphen f(x) und g(x), die nur noch von a abhängig ist.
f'(a)=2-2/a²
Wenn ein Extremwert vorliegt, muß die Ableitung Null werden:
2-2/a²=0
2/a²=2
1/a²=1
a²=1
a=-1 oder a=1
Bei einer Lösung liegt ein Maximum, bei der anderen ein Minimum vor.
Bilde f''(a) und setze die beiden Lösungen für a ein. Da, wo das Minimum ist, wird
f''(a) positiv:
Die zweite Ableitung von 2-2/a² ist 4/a³.
Das wird für a=1 positiv; hier liegt also ein Minimum vor.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Flächen sind gleich, aber einmal unterhalb der x-Achse, einmal oberhalb.
Die Periode beider Sinuswellen ist gleich lang. Der Vorfaktor ändert nur die Amplitude (Höhe der Wellen), d. h. die Schnittpunkte sind immer die Nullstellen (also hier 0 und pi), egal wie groß a ist.
g(x) = -1/a • sin(x) oder g(x) = -1 / (a • sin(x)) ??
maximaler oder minimaler Flächeninhalt ??
Ich vermute g(x) = -1/a • sin(x) und dass er den minimalen Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven sucht. Bitte um Bestätigung, Sirius5 (:
Ja, entschuldigung, bin ein bisschen durcheinander gekommen zwischen hier und einer andren aufgabe :P
Es muss der minimale gemeint sein, denn g geht für große a gegen 0,
während f immer größer wird. Einen maximalen Flächeninhalt gibt es also nicht.
Die Schnittpunkte liegen bei 0 und pi.
Berechne das Integral von 0 bis pi von |fa(x)-ga(x)|. Das Ergebnis ist ein Term mit a, den du als Funktion definieren kannst.
Und dann musst du nur noch das Minimum dieser Funktion berechnen.
Die Zielfunktion ist demnach A(x) =
= -(a+1/a)*cos x in den Grenzen von 0 bis Pi, was zu einem einfachen Term mit der Variablen a führt. Nun wird der Extremwert dieses als Funktion definierten Terms berechnet (sprich ableiten und Null setzen). Da sollten zwei "schöne" ganzzahlige Werte für a rauskommen*
*) ...deren Beträge gleich sind ;-)
Wenn ich die Gleichung -(-a-1/a)*sin(x) aufstelle und nach x auflöse bekomme ich 0 raus. Mache ich etwas falsch?
Wie bzw nach welchem Schritt kommst du auf diese Gleichung genau?
Wenn ich -(a+1/a)*cos x ableite bekomme ich doch (a+1/a)*sin x oder?
Du musst - bevor du ableitest - ja noch die beiden Grenzen in den Term mit cos x einsetzen, da verschwindet dann ja der cos und du erhältst einen Term nur mit a, ohne x. Diesen Term musst du ableiten und gleich Null setzen ("Extremwertsuche").
Sorry das ich nochmal frage aber wie kann ich zwei Grenzen in einen Term einsetzen. So ähnlich wie beim Intergal wo ich sie von einander abziehe/addiere? Oder sind das dann zwei verschiedene Terme?
Du berechnest das bestimmte Integral
= -(a+1/a) * cos (x) in den Grenzen von 0 bis Pi. Hier zuerst die obere Grenze (Pi) einsetzen, dann MINUS der unteren Grenze (0) eingesetzt, also:
-(a+1/a) * ( cos (Pi) - cos (0) )
Das ergibt a + 1/a
Das Ergebnis ist nachwievor die Zielfunktion deiner Extremwertaufgabe, die dann abgeleitet und gleich 0 gesetzt werden muss.
Ah, ich verstehe. Dann ist die Ableitung nach a f'(a)=1-1/a^2 oder? Wenn ich dann nach 0 auflöse bekomme ich -1 und 1. Ist das richtig? Wenn ja dann vielen Dank, diese Aufgabe war sehr wichtig für mich!
So ist es. Du kannst das auch überprüfen, indem du mit diesen Werten die Flächeninhalt berechnest. Dann suchst du dir Werte, die nahe an 1 bzw -1 liegen, aus, z.B. 0.99, 1.01, -0.99, -1.01 und berechnest damit den Flächeninhalt. Du wirst sehen, der Flächeninhalt wird größer sein als bei 1 bzw -1.
Und wie gestern schon Tannibi anmerkte, geht der Flächeninhalt gegen unendlich, wenn du die Werte von a von den beiden Lösungen 1 bzw -1 entfernst.
Kennst du die Geometrie-Software Geogebra? Dort könntest du graphisch betrachten, wie sich der Fläscheninhalt veränderst, wenn du am Parameter a "schraubst". Außerdem ist ein CAS im Geogebra inkludiert.
Schau mal hier, hab dir Screenshots vom Geogebra hochgeladen. Achte auf die verschiedenen Werte von a (links oben beim Schieberegler) und wie sich das auf den Flächeninhalt auswirkt (Wert ist am Graphen zu erkennen)
Bei der Extremstelle a = -1 kommt bei der zweiten Ableitung (Krümmung) ein negativer Wert raus, der wahrlich nur an einer Maximumstelle zu finden ist (weil dort die Funktion stets negativ gekrümmt ist).
Aber berechnet man weiters mit a = -1 den Flächeninhalt, kommt der gleiche Wert wie bei a = 1 raus (da ja der Betrag vom anfänglichen Integral genommen wird, weil Flächen nie negative Werte annehmen sollten).
Sollten dann nicht beide Werte für a ein Minimum an Fläche ergeben und somit korrekt sein?
Siehe meine Screenshots aus Geogebra: https://goo.gl/Gt4pWV