Mathematik: schneiden oder berühren?

5 Antworten

1.) Funktionen berühren sich in einem Punkt, wenn sie dieselben Funktionswerte in diesem Punkt haben UND dieselbe Steigung in diesem Punkt haben, also die Funktionswerte der 1-ten Ableitungen beider Funktionen identisch sind.

Funktionen, die sich berühren, durchqueren einander, in ihrem Berührungspunkt, nicht.

2.) Funktionen, die sich in einem Punkt schneiden, haben in diesem Punkt dieselben Funktionswerte, aber verschiedene Steigungen, dass heißt also, die Funktionswerte der 1-ten Ableitungen beider Funktionen sind nicht identisch.

Funktionen, die sich schneiden, durchqueren einander in ihrem Schnittpunkt.

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Zuerst f(x) und g(x) gleichsetzen -->

12 * x - 2 * x ^ 2 = 12 * x - 18

So umformen, dass die rechte Seite der Gleichung Null wird -->

18 -  2 * x ^ 2 = 0 | : 2

9 - x ^ 2 = 0 |-9

- x ^ 2 = -9 | : (-1)

x ^ 2 = 9 | √(...)

x _ 1 = -3

x _ 2 = +3

Nun schauen ob die 1-ten Ableitungen an den Stellen x _ 1 = -3 und x _ 2 = +3 identisch sind, dazu muss man sie erstmal bilden -->

f(x) = 12 * x - 2 * x ^ 2

f´(x) = 12 - 4 * x

g(x) = 12 * x - 18

g´(x) = 12

f´(-3) = 12 - 4 * (-3) = 24

g´(-3) = 12

f´(-3) ≠ g´(-3)

An der Stelle x _ 1 = -3  sind die 1-ten Ableitungen von f(x) und g(x) nicht identisch, deshalb berühren sie sich dort auch nicht.

f´(+3) = 12 - 4 * (+3) = 0

g´(+3) = 12

f´(+3) ≠ g´(+3)

An der Stelle x _ 1 = +3  sind die 1-ten Ableitungen von f(x) und g(x) ebenfalls nicht identisch, deshalb berühren sie sich dort ebenfalls nicht.

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Die Funktionen f(x) und g(x) haben an den Stellen x _ 1 = -3 und x _ 2 = +3 Schnittpunkte, aber keine Berührungspunkte.

Der x-Wert alleine ergibt aber noch keinen Schnittpunkt, ein Punkt besteht immer aus einem x-Wert und aus einem y-Wert.

Die dazugehörigen y-Werte erhält man ganz einfach durch einsetzen der x-Werte in einer der beiden Funktionen -->

g(x) = 12 * x - 18

g(-3) = 12 * (-3) - 18 = -54

g(+3) = 12 * (+3) - 18 = 18

Die Schnittpunkte von f(x) und g(x) lauten also -->

P _ 1 (-3|-54) und P _ 2 (+3|18)

Doch, die p-q-Formel kann man daraus ganz einfach bilden, mit p=0 - man kann ja statt 0=x^2-9 auch schreiben 0=x^2+0x-9 ...

Wenn die Gleichung dann 2 Lösungen liefert, schneiden sich die beiden Funktionen, gibt es nur eine Lösung, berühren sie sich nur. Gibt es gar keine Lösung, gehen die Funktionen "aneinander vorbei".

1.pq Formel kannst du daraus bilden (3,-3)

und 2. guck dir jeweils Punkte davor und danach an und schaue, wo sie sind...

achja 2 Schnittpunkte, also eigentlich ja klar...

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