Mathematik: schneiden oder berühren?
Man hat die Funktion f(x) = 12x -2x^2 und g(x)= 12x-18. Nun ist gefragt ob sich diese zwei Graphen schneiden oder berühren.
Also mir ist klar, dass man die zuerst gleichsetzen muss, aber dann kommt nur 0=x^2-9 und daraus kann man die pq-Formel nicht bilden?
Wie funktioniert diese Aufgabe?
5 Antworten
1.pq Formel kannst du daraus bilden (3,-3)
und 2. guck dir jeweils Punkte davor und danach an und schaue, wo sie sind...
achja 2 Schnittpunkte, also eigentlich ja klar...
1.) Funktionen berühren sich in einem Punkt, wenn sie dieselben Funktionswerte in diesem Punkt haben UND dieselbe Steigung in diesem Punkt haben, also die Funktionswerte der 1-ten Ableitungen beider Funktionen identisch sind.
Funktionen, die sich berühren, durchqueren einander, in ihrem Berührungspunkt, nicht.
2.) Funktionen, die sich in einem Punkt schneiden, haben in diesem Punkt dieselben Funktionswerte, aber verschiedene Steigungen, dass heißt also, die Funktionswerte der 1-ten Ableitungen beider Funktionen sind nicht identisch.
Funktionen, die sich schneiden, durchqueren einander in ihrem Schnittpunkt.
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Zuerst f(x) und g(x) gleichsetzen -->
12 * x - 2 * x ^ 2 = 12 * x - 18
So umformen, dass die rechte Seite der Gleichung Null wird -->
18 - 2 * x ^ 2 = 0 | : 2
9 - x ^ 2 = 0 |-9
- x ^ 2 = -9 | : (-1)
x ^ 2 = 9 | √(...)
x _ 1 = -3
x _ 2 = +3
Nun schauen ob die 1-ten Ableitungen an den Stellen x _ 1 = -3 und x _ 2 = +3 identisch sind, dazu muss man sie erstmal bilden -->
f(x) = 12 * x - 2 * x ^ 2
f´(x) = 12 - 4 * x
g(x) = 12 * x - 18
g´(x) = 12
f´(-3) = 12 - 4 * (-3) = 24
g´(-3) = 12
f´(-3) ≠ g´(-3)
An der Stelle x _ 1 = -3 sind die 1-ten Ableitungen von f(x) und g(x) nicht identisch, deshalb berühren sie sich dort auch nicht.
f´(+3) = 12 - 4 * (+3) = 0
g´(+3) = 12
f´(+3) ≠ g´(+3)
An der Stelle x _ 1 = +3 sind die 1-ten Ableitungen von f(x) und g(x) ebenfalls nicht identisch, deshalb berühren sie sich dort ebenfalls nicht.
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Die Funktionen f(x) und g(x) haben an den Stellen x _ 1 = -3 und x _ 2 = +3 Schnittpunkte, aber keine Berührungspunkte.
Der x-Wert alleine ergibt aber noch keinen Schnittpunkt, ein Punkt besteht immer aus einem x-Wert und aus einem y-Wert.
Die dazugehörigen y-Werte erhält man ganz einfach durch einsetzen der x-Werte in einer der beiden Funktionen -->
g(x) = 12 * x - 18
g(-3) = 12 * (-3) - 18 = -54
g(+3) = 12 * (+3) - 18 = 18
Die Schnittpunkte von f(x) und g(x) lauten also -->
P _ 1 (-3|-54) und P _ 2 (+3|18)
Doch, die p-q-Formel kann man daraus ganz einfach bilden, mit p=0 - man kann ja statt 0=x^2-9 auch schreiben 0=x^2+0x-9 ...
Wenn die Gleichung dann 2 Lösungen liefert, schneiden sich die beiden Funktionen, gibt es nur eine Lösung, berühren sie sich nur. Gibt es gar keine Lösung, gehen die Funktionen "aneinander vorbei".
9 = x^2
sqrt(9) = x
-> 2 lösungen x =+-3
berühren heißt eigentlich nur ein schnittpunkt, dass geht bei stetigen funktionen auf R nur wenn die Steigung im Berührungspunkt gleich ist.
da du aber zwei lösungen hast kannst du da schon drauf schließen dass sie sich schneiden
Also müsste ich für den Lehrer die Überprüfung mit dem Berühren nicht machen, da es schon offensichtlich ist?
egal wie jetzt auch immer berühren gemeint ist eine aussage kann jetzt schon getroffen werden.
Du brauchst m. E. nicht mehr konkret auf Berührung zu prüfen, aber das solltest Du so deutlich hinschreiben - damit keiner denkt, Du hättest das vergessen ;-)
0=x² - 9 Da braucht man keine pq-Formel ;-)
x² = 9
x = 3 oder x = -3
2 Lösungen => 2 Schnittpunkte
Sie schneiden sich ja dann, aber da in der Arbeit auch noch nach der Überprüfung mit dem Berühren gefragt wird, wie macht man das dann?
Du könntest das folgendermaßen zeigen:
Betrachte x-Werte, die links neben dem Schnittpunkt liegen und prüfe, ob da die Funktionswerte von f kleiner oder größer sind sind als die Funktionswerte von g.
Als nächstes nimm x-Werte, die rechts neben dem selben Schnittpunkt liegen und prüfe da ebenfalls, ob die Funktionswerte von f kleiner oder größer sind sind als die Funktionswerte von g.
Wenn es rechts vom Schnittpunkt genau andersrum ist wie links vom Schnittpunkt, dann ist es ein echter Schnittpunkt und die Graphen haben sich "überkreuzt".
Das selbe machst du dann nochmal mit dem anderen Schnittpunkt.
Nein, ist NICHT dass selbe.
Beim Schnittpunkt "überkreuzen" sich die Graphen.
Also wenn links vom Schnittpunkt z.B. der Graph von f unterhalb von g verläuft, dann verläuft f rechts vom Schnittpunkt oberhalb von g.
Beim Berührpunkt berühren sich die Graphen (wie eine Tangente), aber sie überkreuzen sich nicht.
Sie schneiden sich ja dann, aber da in der Arbeit auch noch nach der Überprüfung mit dem Berühren gefragt wird, wie macht man das dann?