Das ist eine "klassische Kurvendiskussion" - ich glaube, heute nennt man das "Funktionsanalyse" oder so.
● G(x) ist die Gewinnfunktion
● G'(x) ist die erste Ableitung der Gewinnfunktion. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die möglichen Extremstellen der Funktion.
● G"(x) ist die zweite Ableitung der Gewinnfunktion. Die zweite Ableitung einer Funktion verrät uns, ob die Funktion an der jeweiligen möglichen Extremstelle ein Maximum, ein Minimum, oder vielleicht eine Wendestelle (kein Extremum) hat:
- Ist G"(x) > 0, hat G(x) in x ein Minimum,
- ist G"(x) < 0, hat G(x) in x ein Maximum,
- Ist G"(x) = 0, wissen wir noch nichts Genaues und müssen G'''(x) untersuchen, das ist hier aber zum Glück nicht der Fall.
Soweit zur Einführung die allgemeine Theorie, nun zur korrekten Rechnung:
■ Im ersten Schritt der Rechnung werden also, um Kandidaten für mögliche Extremstellen der Funktion zu finden, die Nullstellen der ersten Ableitung gesucht.
Dazu setzt man ihre Funktionsgleichung gleich 0 und löst nach x auf. In diesem Fall (quadratische Gleichung, die man normiert) geht das mit der p-q-Formel, mit p = -10/3 und q = -6.
Das liefert zwei Lösungen,
- x1 = 5/3 + 1/3√79 und
- x2 = 5/3 - 1/3√79
x2 ist negativ, negative Stückzahlen ergeben in einer Produktion aber keinen Sinn, daher braucht diese Lösung nicht beachtet zu werden.
x1 = 5/3 + 1/3√79 ist also der einzige sinnvolle "Kandidat" für eine Extremstelle der Gewinnfunktion.
■ Im zweiten Schritt der Rechnung wird nun überprüft, ob an dieser Stelle ein Maximum oder ein Minimum vorliegt - wäre es ein Minimum, wäre das ungünstig, wir wollen ja die Stelle des maximalen Gewinns ermitteln.
Zur Prüfung wird also x1 = 5/3 + 1/3√79 in die Gleichung der dritten Ableitung eingesetzt, das ergibt glücklicherweise einen Wert < 0, x1 ist also tatsächlich eine Maximalstelle. (Die Formulierung "Daher handelt es sich um ein Maximum" ist hier etwas unglücklich, finde ich: Das könnte man so verstehen, als wäre der gerade errechnete Wert oder x1 bereits das Maximum. Gemeint ist aber: Da G'''(x1) < 0, hat G(x) an der Stelle x1 ein Maximum, bzw. G(x1) ist ein Maximalwert.
■ Im letzten Satz
"Der maximal mögliche Gewinn ist also G(5/3 + 1/3√79) = 43,27 €."
wird nun tatsächlich das gesuchte Maximum / der Maximalwert ermittelt, durch Einsetzen von x1 in die Funktion G(x).
Leider fehlt hier der Rechenweg ...
(Das finde ich ziemlich doof, und es ist auch gar nicht schön, diesen wichtigen letzten Schritt einfach an den anderen ran zu klatschen. - Vermutlich war die Stunde zuende, oder das Papier zu klein 😉.)
... und ich bin mir nicht ganz sicher, wie G(x) eigentlich lautet – ich meine, es müsste
G(x) = K(x) - 24
sein, also die Kostenfunktion abzüglich des Erlöses.
Dann ist
G(x) = x³ - 5x² + 6x + 24
und
G(x1) =
G(5/3+1/3√79) =
(5/3+1/3√79)³ - 5(5/3+1/3√79)² + 6(5/3+1/3√79) + 24 =
99,21 - 107,16 + 27,77 + 24 =
43,82
Ich finde, das sieht ganz gut aus, der Unterschied zum in der Lösung angegebenen Ergebnis 43,27 dürfte ein Rundungsfehler sein (je nachdem, ob man mit 5/3 oder 1,67 oder 1,667 etc., mit 1/3, 0,33 oder 0,333 etc. und mit √79, 8.89 oder 8,889 etc. rechnet, können sogar auch mal Werte unter 43 raus kommen).
