Matheaufgabe über Glühlampen?

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6 Antworten

ich beginne mal mit aufgabe a) (meiner meinung nach nicht sehr gut gestellt). ich denke du sollst hier 2 gleichungen aufstellen die die kosten die die leuchtmittel erzeugen beschreiben. der gesamtpreis sollte aus dem kaufpreis bestehen und aus den kosten die durch den kwh preis im zusammenhang mit den maximalen betriebsstunden(glühlampe 1000h und energiesparleuchte 8000 stunden) entstehen.

bei aufgabe b sollst du nun rausfinden, bis zu welcher stundendauer der gesamtpreis gleich ist! was du dafür tun musst sollte dir hoffentlich klar sein.

c.) zeichne ein koordinatensystem in dem du die graphen der beiden funktionen einzeichnest. wenn du das getan hast wirst du sehen dass sich beide graphen an einer stelle schneiden. dies ist der punkt den du in der vorherigen aufgabe berechnet hast. was kannst du also am diagramm ablesen? die wirtschaftlichkeit!

d.) diese aufgabe solltest du ebenfalls mit referenz auf dein diagramm beantworten können.

e.) hier solltest du dir überlegen wie lange die lampe im jahr an ist. und diese anzahl stunden in deine gleichungen einsetzen um zu sehen wie viel günstiger die ernergiesparlampe ist!

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nun das ist im prinzip ein dreisatz mit 3 Datensätzen, sozusagen ein 5satz...

die energiesparlampe hält 8000 Stunden, die Glühlampe nur 1000...

dem entsprechend brauchst du um eine energiesparlampe zu ersetzen 8 glühlampen.. (hinterienander)

eine kostet 45 cent. mal 8 ergibt 3,60 € damit ist, was die reinen anschaffungskosten, den aufwand fürs auswechseln vernachlässigen wir mal, die glühbirne noch immer etwas billger. AAAAAAER....

75 Watt also 0,075 kliowatt *  8.000 Stunden, das macht 600 Kiliowattstunden... mal 19 Cent je kWh macht dann 114 € PLUS eben die 3,60 € also rundgerechnet 120 €

für die rechnung mit der energiesparlampe macht das dann also 0,015 kW * 8.000 h = 120 kWh also knapp 23 € an strom plus die etwa 6 für die Lampe sind wir knapp an der 30 € marke...

damit wäre A schon mal abgehakt... kommen wir direkt zu C

da würde ich einfach empfehlen, dass du einen graphen zeichnest... und zwar einmal mit einer Linie, die bei 45 cent beginnt, dann schräg hochgeht bis 14,70 € das wären dann die 74 kWh die die lampe in 1000 h gefressen hat, und dann eben wieder um 45 cent senkrecht hoch etc.  

für die energiesparlampe zeichnest du dann einfach eine gerade, die bei 5,95 € beginnt und schräg über 8 felder hoch geht bis eben 28,75 €

B ergibt sich dann praktish aus dem schinttpunkt beider linen. an sonsten musst du ungefähr schätzen, immer fleißig rechnen und dann vergleichen so lange bis du einen punkt gefunden hast... (Annährungsverfahren)

kommen wir zu d: "hey tim, so lange deine Mama den strom bezahlt, kann dir das ja wohl egal sein ne?"

zu e: brenndauer mal stromkosten plus plus anschauffungspreis durch standzeit (haltbarkeit) mal brenndauer... schon hast du eine gerade die UNGEFÄHR die kosten wiederspiegelt...

ich denke mal diese anhaltspunkte sollten ausreichen...

ach noch was. rechne mal spasseshalber statt mit zwei mit 3 probanten und pack mal eine LED lampe für sagen wir 19,90 € in den Korb. sie braucht nur 6 Watt und hält 30.000 Stunden...

lg, Anna

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Die Basis ist die Leistungsaufnahme der Lampen, die damit verbundenen Stromkosten und die Laufzeit der Lampen.
Die Energiesparlampe ist teurer in der Anschaffung, dafür hält sie länger und braucht weniger Strom.

Ein Glühlampe mit 75W die 1 Stunde leuchtet braucht 75 W * 1 stunde = 75Wh . 75 Wh sind 0.075kWh. Mit der Angabe 0,19€ pro kWh kostet der Betrieb der Glühlampe für 1 Stunde  also 0.075kWh * 0,19€/kWh

Für 0.45€ (Kaufpreis) bekommst Du also 1000h Licht das 14.25 € für Strom kostet.
(Nach 1000h ist eine Glühlampe rechnerisch defekt)

Nach der gleichen Rechnung ergibt sich für die E-Lampe :
Für 5,95€ bekommst Du 8000h Licht das 28,50 € für Strom kostet.
(Nach 8000h ist eine Energiesparlampe rechnerisch defekt)

Exemplarisch rechnen wir mal aus, was 8000h Licht insgesamt kosten,
also Anschaffung + Strom.

Glühlampe : 8 x 0.45 € + 8 x 14,25 € = 117,60 €
Energiesparlampe: 1 x 5,95 + 28,50 € = 34,45 €

Prinzip verstanden ?

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cinaey 17.02.2016, 11:46

Nicht wirklich verstanden..

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AnReRa 17.02.2016, 12:25
@cinaey

Ab wann setzt den das Verständnis aus ?
Irgendwelche Begriffe in der Aufgabenstellung nicht klar ?

Das eine Lampe Geld in der Anschaffung kostet (die 0,45€ bzw. 5,95€) und im Betrieb Strom verbraucht - also die Angabe 75 (W)att bzw 20 (W)att , den man man zu zahlen hat (mit 0,19€ / kWh) ist doch klar, oder ?

Und das eine Lampe mal kaputt geht (rechnerisch nach 1000 bzw. 8000 Stunden) sollte auch klar sein. Wenn eine Lampe kaputt geht, muss man eine neue kaufen und hat somit nochmal die Anschaffungskosten.

1 kWh bedeutet 1000 (W)att  Stromverbrauch für 1 Stunde (h). Und genau diese 'Strommenge' kostet Dich 0,19€.
Eine Lampe die 75W 'verbraucht', verbraucht in einer Stunde (1 h) genau 75Wh (gelesen 'Wattstunden'). Leuchtete die Lampe 1000 Stunden, dann verbraucht sie 75W * 1000h = 75000Wh = 75 kWh (gelesen Kilowattstunde). Die Kilowattstunde kostet (laut Vorgabe) 0,19€ (geschrieben 0,19€/kWh) Damit kosten Dich 75 kWh Stromverbrauch also 75 kWh * 0,19 € / kWh = 14,25€

'Einschaltdauer' ist hier mit 'Betriebszeit' bzw. 'Lebensdauer' gleichzusetzen. 

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cinaey 17.02.2016, 12:31
@AnReRa

Jetzt habe ich es verstanden, danke :)

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Also die erste Birne Leuchtet mit 75 Watt. Watt ist Arbeit (also Energie) pro Zeit. (Zeit ist hier jetzt in Stunden und Arbeit in Joule. 1 Watt = 1Joule pro Sekunde, also hast du 75 Joule an Energie die der Stromkreis pro Sekunde an die Birne abgibt.) Wenn jetzt also die Leistung, also deine Wattzahl, immer konstant bleibt, nimmt auch die Energie, die die Lampe zum Leuchten benötigt, konstant zu, weswegen du auch mit wachsender Zeitspanne mehr bezahlen musst. 
Jetzt hast du 75 Watt. Das sind 75 Joule pro Sekunde. Jetzt haben wir jedoch KwH, was für KilowattSTUNDE steht. Wir wollen also wissen, wie viel Energie du nach einer Stunde an die Birne abgegeben hast.
Eine Stunde sind 3600 Sekunden, also hast du 75 Watt * 3600 Sekunden = 270.000 Joule = 270.000 Wattstunden.
Wir haben noch gesagt bekommen, dass wir für eine kWh 0,19Euro bezahlen müssen.
Ein kW sind ein KILO-Watt. Kilo heißt bekanntlich 1000 und somit haben wir 1000Watt. Das sind 1000*1Joule pro Sekunde also 1000Joule pro Sekunde.
Damit sind schließlich 3600 Sekunden * 1000Watt = 3.600.000 Joule.
Wir wissen ja jetzt, wie viel Energie unsere Lampe für eine Stunde benötigt und wie viel du für 3.600.000 Joule an Energie bezahlen musst.
Jetzt teilen wir einfach beide Werte durcheinander um zu schauen, wie viel Kilowattstunden unsere Lampe macht.
270.000 Joule / 3.600.000 Joule = 0,075
Unsere Lampe macht also 0,075 kWh, weswegen man für eine Stunde Leuchtzeit 0,075*0,19Euro = 0,01425Euro bezahlen muss.

Jetzt suchen wir noch nach einem Steigungsfaktor für unsere (ganz klar lineare) Funktion.
Allgemeine Funktionsvorschrift einer linearen Funktion ist ja ax + b, wobei b die 0,45Euro sind, die du noch bezahlen musst, um die Birne zu erwerben.
Wir wissen ja, dass die Birne konstant mit 75 Watt, also 75 Joule pro Sekunde, leuchtet, was ja 270.000 Joule pro Stunde macht.
Dieser Wert ist ja unsere benötigte Energie in Abhängigkeit unserer Zeit t (in Stunden).
Aber wir wollen ja wissen was wir bezahlen müssen. Also müssen wir wissen welchen Anteil einer kWh wir nach der Zeit t benötigt haben um zu wissen, welchen Anteil unserer 0,19Euro wir nach der Zeit t zu bezahlen haben.
Jetzt haben wir unsere 270.000kW*t / 3.600.000Joule * 0,19Euro = 0,01425Euro/Stunde * t.
Jetzt noch die 0,45Euro Kaufpreis von der Birne dazuaddieren, und wir haben (jetzt ohne Einheiten) 0,01425*t + 0,45 = P1(t).

Für den Steigungsfaktor deiner zweiten Birne müssen wir jetzt nur unsere die 270.000 kW durch die Leistung der zweiten Birne zu Rate ziehen.
15 Watt ist die Leistung der Birne, also benötigt das Dingen in einer Stunde nur ein Fünftel von dem was die andere Birne benötigt, weswegen die Steigung nur 0,075/5 *0,19 = 0,015*0,19 = 0,00285 beträgt.
Jetzt müssen wir noch die 5,95 Euro dazuaddieren, die die Birne kostet, und wir erhalten P2(t) = 0,00285*t + 5,95

Jetzt zur b)
Wenn wir wissen wollen, für welche Leuchtzeiten beide Birnen insgesamt gleich teuer sind, müssen wir nur P1(t) = P2(t) setzen und nach t auflösen.

Wenn man das macht, müssten da eigentlich 482,45 Stunden herauskommen.

Den Graphen musst du schon selber zeichnen bei c).

zu d)
Einfach für die erste Birne in P1(t) für t die maximale Leuchtzeit, also 1000 Stunden und bei P2(t) für t die 8000 Stunden maximale Leuchtzeit der zweiten Birne einsetzen.
Am Ende kommt raus, dass die Sparbirne nach 8facher Leuchtzeit nicht mal doppelt so teuer ist wie die Birne nach ihren 1000 Stunden Leuchtzeit.
Wenn man jedoch die Lampe in die eine der Birnen hereingeschraubt werden soll, insgesamt weniger als 482,45 Stunden leuchtet, dann ist die Birne günstiger als die Sparbirne, wenn nicht, nicht.

Was man bei e) machen muss, ist dann glaube ich selbstredend.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR 



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JTR666 17.02.2016, 21:02

Hast du es verstanden? :)

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a)

Birne links kostet dich nach der maximalen Brenndauer:

y = 0.19€/kWh x 75W x 1000h + 0.49€

Birne rechs:

y = 0.19€/kWh x 15W x 8000h + 5.95€

Bei b) musst du die Brenndauer durch eine Variable ersetzen, und dann kucken, nach welcher Zeit beide Birnen den gleichen Preis y haben.

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Vorschlag zu c) (Schaubild)

Kostenvergleich - (Mathe, Elektronik, Rechnung)
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treppensteiger 17.02.2016, 18:04

wow, da ist sogar schon der Preis für die 2. Glühlampe mit eingezeichnet?! Oder doch bloß ein Grafikfehler?

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