Mathe Theorie Vektoren 4 Punkte Ebene?
Wenn ich 4 Punkte gegeben habe und ich prüfen muss, ob sich diese Punkte alle auf einer Ebene befindet, stelle ich zunächst mit 3 dieser Punkte eine Ebenen-Gleichung auf, indem ich einen Punkt als Ortsvektor benutze und zwei weitere für Richtungsvektoren. Somit ist meine Ebene aufgestellt, sofern die Richtungsvektoren linear unabhängig voneinander sind. Aber hier ist das Problem:
Selbst wenn die 3 Punkte zusammen keine Ebene spannen können, heißt es doch nicht automatisch, dass die 4 Punkte sich nicht auf einer Ebene befinden können oder? 4 Punkte die sich auf einer Geraden befinden und somit keine Ebene spannen, sind doch ebenfalls auf einer Ebene. Sollte ich dann einfach die Ebenengleichung trotzdem mit dem 4. Punkt gleichsetzen und die Lösung überprüfen?
2 Antworten
Deine Behauptungen sind richtig.
Zu deiner Frage: "Sollte ich dann einfach die Ebenengleichung trotzdem mit dem 4. Punkt gleichsetzen und die Lösung überprüfen?"
Ja
Falls die beiden Vektoren der Ebene tatsächlich linear abhängig sein sollten, erhältst du eine "Ebenengleichung" mit zwei Richtungsvektoren, die linear abhängig sind, das heißt, dass sie parallel sind, also ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist
Wenn dir das nicht auffällt, kannst du trotzdem in diese Ebenengleichung die eigentlich eine Geradengleichung ist, den Punkt einsetzen und die Überprüfung vornehmen.
Wenn dir auffällt, dass die beiden Richtungsvektoren der Ebene linear abhängig sind, kannst du auch einen der beiden weglassen und dann den Punkt einsetzen
Ich würde, wie Du es schon vorgeschlagen hast, einen Punkt als Referenzpunkt benutzen.
Dann aber drei Vektoren zu den drei anderen Punkten nehmen und deren Spatprodukt bilden. Wenn das Spatprodukt 0 ist, dann liegen alle vier in einer Ebene.
Das Spatprodukt kann man als Determinante mit den Komponenten der drei Vektoren berechnen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt#Eigenschaften
(sieht komplizierter aus, als es in Wiklichkeit ist)
Seien A, B, C und D die vier Punkte.
A = (xa, ya, za)
B = (xb, yb, zb)
C = (xc, yc, zc)
D = (xd, yd, zd)
A soll Bezugspunkt sein, dann sind die drei von dort ausgehenden Vektoren
AB = (xb-xa, yb-ya, zb-za)
AC = (xc-xa, yc-ya, zc-za)
AD = (xd-xa, yd-ya, zd-za)
Die vier Punkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Determinante
|xb-xa, yb-ya, zb-za|
|xc-xa, yc-ya, zc-za|
|xd-xa, yd-ya, zd-za|
Null ist.
Ich kann’s leider nicht nachvollziehen