Mathe ganzrationale Funktionen?
Hey, ich habe diese Aufgaben in Mathe bekommen. Die 1, 2 und 3 habe ich gelöst indem ich entweder die Linearfaktoren ausmultipliziert habe oder ein LGS angewendet habe.
doch bei 4. fehlen mir die Ideen zur Lösung, kann jemand helfen?
2 Antworten
- Gabzrationale Funktion 3. Grades:
f(x) = a x³ + b x² + c x + d
- punktsymmetrisch zu Ursprung
f(–x) = –f(x)
a (–x)³ + b (–x)² + c (–x) + d = –(a x³ + b x² + c x + d)
–a x³ + b x² – c x + d = –a x³ – b x² – c x – d
2 b x² + 2 d = 0
b x² + d = 0 (für alle x)
Da es für alle x gilt, kommt nur b = d = 0 infrage. Wir erhalten also
f(x) = a x³ + c x
f'(x) = 3 a x² + c
- verläuft durch P(2 | –23/9)
f(2) = –23/9
a • 2³ + c • 2 = –23/9
8 a + 2 c = –23/9
- lokales Maximum bei E(–3 | 3)
Hier sind zwei Informationen versteckt. Da es ein lokales Maximum ist, muss
f'(–3) = 0
sein. Außerdem ist die y-Koordinate des Maximums gegeben, nämlich
f(–3) = 3.
Damit erhalten wir die beiden Gleichungen
I) 3 a • (–3)² + c = 0
I) 27 a + c = 0
und
II) a • (–3)³ + c • (–3) = 3
II) –27 a – 3 c = 3.
Addieren wir nun (I) und (II), erhalten wir
(27 a + c) + (–27 a – 3 c) = 0 + 3
–2 c = 3
c = –3/2
und damit, c in die erste Gleichung eingesetzt,
27 a + (–3/2) = 0
27 a = 3/2
a = 1/18.
Zur Überprüfung können wir diese beiden Ergebnisse z. B. in die Gleichung, die wir mit dem Punkt P erhalten haben, einsetzen und schauen, ob es stimmt:
8 a + 2 c = –23/9
8 • 1/18 + 2 • (–3/2) = –23/9
8/18 – 3 = –23/9
(8 – 54)/18 = –23/9
–46/18 = –23/9
–23/9 = –23/9
Stimmt.
Ich bin überrascht . Eigentlich gibt es eine nicht notwendige Info dazu . Denn zwei Bedigungen reichen ,da nur zwei Parameter vorhanden sind
Wegen der Punktsymmetrie gilt praktischerweise nur noch
f(x) = ax³ + cx
.
aus (2/-23/9)
-23/9 = 8a + 2c ;
aus (-3/3)
3 = -27a - 3c ,
aus Max bei -3 f'(-3) = 0
0 = 27a + c
.
f(x) = 1/18 x³ - 3/2 * x
mich hat erst irritiert , dass es eine Bedingung "zu viel" gibt